Costruzione dell'insieme Z

Messaggioda AlexanderSC » 10/10/2019, 19:51

Buongiorno,

Tre giorni fà a lezione abbiamo parlato di come riuscire a costruire l'insieme dei Numeri Interi partendo dall'insieme dei Numeri Naturali.

Io però ho capito poco perché aveva a che fare con le partizioni.

Ora che le ho ri-studiate(mi ero scordato alcuni dettagli infatti), non trovo però online una spiegazione a riguardo (tanto meno sui mio libro di logica), quindi mi stavo chiedendo se qualcuno che conoscesse questa dimostrazione, se me la potesse dimostrare passo passo.

Grazie in anticipo :)
AlexanderSC
New Member
New Member
 
Messaggio: 69 di 80
Iscritto il: 10/02/2019, 20:57

Re: Costruzione dell'insieme Z

Messaggioda axpgn » 10/10/2019, 21:19

Qui per esempio
axpgn
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 14274 di 14341
Iscritto il: 20/11/2013, 23:03

Re: Costruzione dell'insieme Z

Messaggioda AlexanderSC » 11/10/2019, 11:52

Grazie infinite, mi è stato molto utile!

Ho solo un dubbio, quando applico la proprieta di somma fra due classi d'equivalenza di segno opposto (ad esempio [(0,4)] + [(3,0)] ),
il risultato non è della classica forma [(0, n)] / [(n, 0)], in quel caso basta rinominare il risultato con il suo elemento più piccolo(Nell'esempio la classe d'equivalenza risultante, ha come elemento (0, 1) che sarebbe poi la risposta)?

Grazie
AlexanderSC
New Member
New Member
 
Messaggio: 71 di 80
Iscritto il: 10/02/2019, 20:57

Re: Costruzione dell'insieme Z

Messaggioda axpgn » 11/10/2019, 12:24

Non ho capito bene cosa intendi dire …
Il risultato di quella operazione ($[(0;4)]+[(3;0)]$) è $[(0+3;4+0)]=[(3;4)]$, ma dato che $[(3;4)]$ rappresenta una classe di equivalenza, qualsiasi elemento della classe può rappresentarla perciò anche $[(0;1)]$ :D

Cordialmente, Alex
axpgn
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 14279 di 14341
Iscritto il: 20/11/2013, 23:03

Re: Costruzione dell'insieme Z

Messaggioda gugo82 » 11/10/2019, 21:33

La costruzione può essere modificata facendo a meno di classi di equivalenza.
Certo, si perde un po’ di eleganza, ma non ci sono problemi più profondi.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Consideriamo l’insieme $Z$ costituito dalle coppie ordinate del tipo $(n,m) in NN^2$ caratterizzate dalla seguente proprietà: $(n,m) in Z$ se e solo se o $n=0$ oppure $m=0$.1
Quindi in $Z$ ci sono solo le coppie del tipo $(n,0)$ o $(0,m)$.

Su $Z$ definiamo la somma $+: Z^2 -> Z$ ponendo:
\[
\begin{split}
(n_1,0) + (n_2,0) &= (n_1 + n_2, 0) \\
(0, m_1) + (0, m_2) &= (0, m_1 + m_2) \\
(n_1, 0) + (0, m_2) &= \begin{cases} (n_1 - m_2, 0) & \text{, se } n_1 \geq m_2 \\ (0, m_2 - n_1) & \text{, se } m_2 > n_1 \end{cases} \\
(0, m_1) + (n_2, 0) &= \begin{cases} (n_2 - m_1, 0) & \text{, se } n_2 \geq m_1 \\ (0, m_1 - n_2) & \text{, se } m_1 > n_2 \end{cases}
\end{split}
\]
ed il prodotto $* : Z^2 -> Z$ ponendo:
\[
\begin{split}
(n_1,0) \cdot (n_2,0) &= (n_1n_2, 0) \\
(0, m_1) \cdot (0, m_2) &= (m_1 m_2, 0) \\
(n_1,0) \cdot (0,m_2) &= (0, n_1m_2) \\
(0, m_1) \cdot (n_2, 0) &= (0, m_1 n_2)
\end{split}
\]
(in cui le operazioni ai secondi membri sono quelle già definite in $NN$).
Con qualche conto si verifica che $+$ e $*$ godono delle usuali proprietà (commutativa, associativa, distributiva di $*$ rispetto a $+$), che $+$ ha come elemento neutro $(0,0)$, che ogni coppia $(n,0)$ [risp. $(0,m)$] ha come opposto la coppia $(0,n)$ [risp. $(m,0)$] e che $*$ ha come elemento neutro $(1,0)$.
Quindi $(Z,+,*)$ è un anello commutativo unitario; inoltre, si prova che vale la Legge di Annullamento del Prodotto, sicché $(Z,+,*)$ è un dominio d’integrità unitario.
Questa struttura viene denotata con $ZZ$ ed è detta anello degli interi.

Con queste definizioni si dimostra che $ZZ$ contiene una sottostruttura isomorfa a $(NN, +,*)$: infatti, l’applicazione $i:NN -> Z$ che assegna $i(n) := (n,0)$ è additiva (i.e., $i(n_1+n_2) = i(n_1) + i(n_2)$) e moltiplicativa (cioè, $i(n_1n_2) = i(n_1)*i(n_2)$).
Quindi possiamo ritenere che $NN sub ZZ$ ed identificare ogni coppia del tipo $(n,0)$ semplicemente con $n$ ($in NN$); in particolare $0$ ed $1$ saranno usati per denotare le coppie $(0,0)$ ed $(1,0)$.
Invece, le coppie del tipo $(0,m)$ (con $m >=1$) si denotano col simbolo $-m$ (leggi: “meno emme”); in particolare, la coppia $(0,1)$, opposta di $1$, si denota con $-1$ (leggi: “meno uno”).
Dato che (per la definizione della moltiplicazione) risulta $(0,m) = (0,1)*(m,0)$, possiamo affermare che $-m = (-1)*m$ e, visto che $(m,0) + (0,m) = (0,0)$, possiamo affermare che $-m$ è l’opposto di $m$ e, viceversa, che $m$ è l’opposto di $-m$, ossia che $-(-m) = m$.

In $ZZ$ possiamo poi definire la sottrazione mediante “somma con l’opposto”, i.e. possiamo porre $b - a := b + (-a)$; in tal modo, è semplice provare che $b - a$ è l’unico elemento di $ZZ$ che sommato ad $a$ fornisce $b$ e che la sottrazione definita in $ZZ$ è un’estensione di quella definita su $NN$ (quando $b>= a$).

Inoltre, su $ZZ$ si può mettere la relazione $<=$ ponendo per definizione:
\[
a \leq b\ \stackrel{\text{def}}{\Leftrightarrow}\ b - a \in \mathbb{N}
\]
e si dimostra che essa è una relazione d’ordine (riflessiva, antisimmetrica e transitiva) totale, compatibile con le operazioni (nel senso che $a<= b => a+c <= b+c$ e $a<= b ^^ 0<= c => a*c <= b*c$), rispetto alla quale $NN - \{0\}$ coincide con l’insieme dei numeri positivi di $(ZZ, <=)$.

Note

  1. Come quasi tutti gli analisti considero $0 in NN$.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 22566 di 22609
Iscritto il: 13/10/2007, 00:58
Località: Napoli

Re: Costruzione dell'insieme Z

Messaggioda AlexanderSC » 12/10/2019, 17:31

Capito, quindi la definizione di somma, è più complessa rispetto a quella rappresentata nel primo link.
Ti ringrazio per il tuo tempo, e per il testo allegato :)
Buona Giornata.
AlexanderSC
New Member
New Member
 
Messaggio: 73 di 80
Iscritto il: 10/02/2019, 20:57

Re: Costruzione dell'insieme Z

Messaggioda gugo82 » 12/10/2019, 20:59

AlexanderSC ha scritto:Capito, quindi la definizione di somma, è più complessa rispetto a quella rappresentata nel primo link.

Non più complessa: si tratta solo di distinguere un po’ di casi.

AlexanderSC ha scritto:Ti ringrazio per il tuo tempo, e per il testo allegato :)

Prego! :smt023
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 22580 di 22609
Iscritto il: 13/10/2007, 00:58
Località: Napoli


Torna a Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Chi c’è in linea

Visitano il forum: anto_zoolander, Rosaaaa e 7 ospiti