Re: Cubo di binomio

Messaggioda gugo82 » 10/10/2019, 18:33

Beh, le regole del calcolo letterale sono “modelli” per effettuare qualsiasi tipo di calcolo, coinvolga esso numeri o espressioni di altro tipo.
Proprio in questo consiste la potenza dell’Algebra: introducendo variabili letterali, puoi fare a meno di sapere cosa c’è esattamente dentro un espressione e ragionare per “modelli”.

Tanto per fare un esempio, è chiaro che $(x^(1/3) + 1)^3$ non è un cubo di binomio (perché l’argomento della potenza non è un binomio), ma il calcolo si può svolgere applicando la formula del cubo del binomio (formalmente, perché usando la variabile ausiliaria $y=x^(1/3)$, l’espressione si muta in $(y+1)^3$ che è il cubo di un binomio).
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Cubo di binomio

Messaggioda alessio76 » 10/10/2019, 21:30

Filippo12 ha scritto:grazie ,adesso mi tornano i conti ( PS: mi ero fermato perchè il libro dice cubo di un binomio, cioè cubo di un polinomio, ma un binomio non può avere grado negativo, -2 nel mio esempio ) . grazie


Hai ragione, ed evidentemente sei uno che prende (giustamente...) alla lettera le definizioni (non siete rimasti in molti...). Se però ripensi alla dimostrazione della formula chiamata "cubo di binomio" (così come per gli altri "prodotti notevoli" ) ti accorgerai che la formula è valida per il cubo di una qualunque somma ("algebrica"): volendo, iterando i "prodotti notevoli" che conosci, con tanta pazienza, ci calcoli pure questo "cubo di TRI-COSO"

\(\displaystyle (x^{1/2}-3y+z)^3= ((x^{1/2}-3y)+z)^3= (x^{1/2}-3y)^3+3 (x^{1/2}-3y)^2z+\dots =\dots\)

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Comunque, mi pare di ricordare che anche una persona seria come Artin (figlio) sprechi tempo e inchiostro per scrivere una intera sezione sul "principio di permanenza delle identità1", quindi il tuo "dubbio" è forse più nobile di quel che sembra.

Note

  1. Una espressione misticheggiante per dire (ciò che ora dirò in modo ancora più complicato...) che l'anello dei polinomi (su un certo insieme di indeterminate...) a coefficienti interi $\mathbb Z[(x_i)_{i\in I}]$ è l'algebra (commutativa unitaria) libera su quell'insieme, e quindi ogni relazione di identità fra polinomi a coefficienti interi dà luogo ad altrettante relazioni di uguaglianza in ogni anello commutativo unitario via opportuni omomorfismi di valutazione.
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Re: Cubo di binomio

Messaggioda Zero87 » 10/10/2019, 22:11

gugo82 ha scritto:Tanto per fare un esempio, è chiaro che $(x^(1/3) + 1)^3$ non è un cubo di binomio (perché l’argomento della potenza non è un binomio), ma il calcolo si può svolgere applicando la formula del cubo del binomio (formalmente, perché usando la variabile ausiliaria $y=x^(1/3)$, l’espressione si muta in $(y+1)^3$ che è il cubo di un binomio).

In un certo senso, quindi, avevo un dubbio legittimo e ho dato per scontate - in passato, parlo del liceo - delle cose vedendo dagli esercizi. Quindi vi ringrazio per le spiegazioni e dal punto di vista della reputazione mi salvo in calcio d'angolo. :D
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