Re: Calcolo periodo funzione applicando la definizione

Messaggioda BayMax » 10/10/2019, 21:55

@alessio76,
mi aiuteresti gentilmente col formalismo giusto ?

Morale: se precomponi con una funzione periodica, la composta risulta anch'essa periodica (occhio, la minimalità non è garantita...)


Intendi che il periodo $T$ della funzione interna risulta anche periodo $T$ della composta, ma non è il periodo minimo ? Nel senso che la funzione composta potrebbe avere periodo $T_(comp)<T$ o, in generale, che $T_(comp)<=T$ ? Se intendi questo, da cosa lo vedo nella dimostrazione ?

Ah e ovviamente sempre grazie della gentilezza, tempo e disponibilità :D
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Re: Calcolo periodo funzione applicando la definizione

Messaggioda alessio76 » 10/10/2019, 22:02

BayMax ha scritto:@alessio76,
mi aiuteresti gentilmente col formalismo giusto ?

Morale: se precomponi con una funzione periodica, la composta risulta anch'essa periodica (occhio, la minimalità non è garantita...)


Intendi che il periodo $T$ della funzione interna risulta anche periodo $T$ della composta, ma non è il periodo minimo ? Nel senso che la funzione composta potrebbe avere periodo $T_(comp)<T$ o, in generale, che $T_(comp)<=T$ ? Se intendi questo, da cosa lo vedo nella dimostrazione ?

Ah e ovviamente sempre grazie della gentilezza, tempo e disponibilità :D


Allora, domanda: le funzioni costanti sono periodiche? Se sì, di quale "periodo" (dico "quello minimo")...pensaci un po'...poi immagina, che succede se la funzione esterna è costante?

Sul formalismo: prova a rileggere la mia prima risposta....ho scritto più volte cosa significa che $T$ è un periodo di $f$ (non ho mai esplicitato la condizione tecnica per dire "il periodo"). I "quantificatori" sono due:
"esiste (almeno) un", quantificatore "esistenziale", e "(per) ogni/tutti", quantificatore "universale"....puoi anche scriverli in italiano (anziché in geroglifico ieratico $\exists$ e $\forall$, anche se poi sono solo le iniziali "ribaltate" delle corrispondenti parole inglesi: "Exists", "All"), l'importante è che ti sia chiara la loro funzione...
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Re: Calcolo periodo funzione applicando la definizione

Messaggioda BayMax » 10/10/2019, 22:39

@alessio76

Proviamo un po' di formalismo, va. Anche se, vista l'ora, non ti garantisco nulla :-D . Ma chi voglio prendere in giro, è una scusa, come ha detto anche axpgn :P .
Allora scriverei così: Siano $f$ e $g$ due funzioni in $R$, tali che $AA x in D$ di $f(x)$ si abbia $f(x) in D$ di $g$ essendo D il dominio. Supponiamo che $f$ sia periodica di periodo $T$ in modo che sia $f(x+kT)=f(x) AA k in Z$. Allora $g\circf=g(f(x))=g(f(x+kT)) AA k in Z$, dalla quale si deduce che $g\circf$ è anch'essa periodica di periodo $T$ per definizione di funzione periodica.

Va un po' meglio ?

Ho anche dei dubbi parte

tali che $AA x in D$ di $f(x)$ si abbia $f(x) in D$ di $g$ essendo D il dominio


in realtà non credo sia necessario che l'intera immagine di $f$ debba appartenere al dominio di $g$; potrei dire che la dimostrazione è valida solo $AA x in D(f) t.c. f(x) in D(g)$.

Per quanto riguarda la funzione costante, bella domanda :smt102 . La mia dimostrazione non funziona, proprio perché essa "ha periodo" qualunque numero reale (direi così, ammettendo che si possa definire un periodo per una funzione costante). Quindi, o nella mia dimostrazione suppongo $g\ne(costante)$, oppure posso solo concludere che $T_(g\circf)<=T_f$ oppure... non saprei :-D

Cosa ne pensi ?
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Re: Calcolo periodo funzione applicando la definizione

Messaggioda axpgn » 10/10/2019, 23:10

BayMax ha scritto:… in realtà non credo sia necessario che l'intera immagine di $f$ debba appartenere al dominio di $g$ …

Se tutta l'immagine di $f$ non appartiene al dominio di $g$ allora non può esistere $g\circf$
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Re: Calcolo periodo funzione applicando la definizione

Messaggioda alessio76 » 11/10/2019, 08:32

BayMax ha scritto:@alessio76

Proviamo un po' di formalismo, va. Anche se, vista l'ora, non ti garantisco nulla :-D . Ma chi voglio prendere in giro, è una scusa, come ha detto anche axpgn :P .
Allora scriverei così: Siano $f$ e $g$ due funzioni in $R$, tali che $AA x in D$ di $f(x)$ si abbia $f(x) in D$ di $g$ essendo D il dominio. Supponiamo che $f$ sia periodica di periodo $T$ in modo che sia $f(x+kT)=f(x) AA k in Z$. Allora $g\circf=g(f(x))=g(f(x+kT)) AA k in Z$, dalla quale si deduce che $g\circf$ è anch'essa periodica di periodo $T$ per definizione di funzione periodica.

Va un po' meglio ?

Ho anche dei dubbi parte

tali che $AA x in D$ di $f(x)$ si abbia $f(x) in D$ di $g$ essendo D il dominio


in realtà non credo sia necessario che l'intera immagine di $f$ debba appartenere al dominio di $g$; potrei dire che la dimostrazione è valida solo $AA x in D(f) t.c. f(x) in D(g)$.

Per quanto riguarda la funzione costante, bella domanda :smt102 . La mia dimostrazione non funziona, proprio perché essa "ha periodo" qualunque numero reale (direi così, ammettendo che si possa definire un periodo per una funzione costante).Quindi, o nella mia dimostrazione suppongo $g\ne(costante)$, oppure posso solo concludere che $T_(g\circf)<=T_f$ oppure... non saprei :-D

Cosa ne pensi ?



Allora, intanto bene che ci tu ci stia provando...poi:

$f$ e $g$ due funzioni in $R$


Vuoi dire che i domini di $f$ e $g$ sono sottoinsiemi di $\RR$ o che hanno esattamente dominio $\RR$?
nel primo caso: "funzioni di variabile reale" è un'espressione adatta, sufficientemente vaga, compatta, non impegna; nel secondo basta dire "di dominio $\RR$" oppure definite su (tutto) $\RR$.

...$f(x) in D$ di $g$...
in realtà non credo sia necessario che l'intera immagine di $f$ debba appartenere al dominio di $g$1


Se proprio non ti garba di scrivere tutto a parole (ma correttamente): per indicare il dominio di una funzione $h$ puoi scrivere qualcosa come $dom(h)$ oppure $\mathcal D_h$
(forse il primo rischia meno di essere frainteso e non richiede troppa conoscenza di Latex). Quindi l'espressione "$f(x)$ appartenente al dominio di $g$" diventa: $f(x)\in dom(g)$.
Sulla condizione di "componibilità", nel caso specifico di funzioni reali di variabile reale, vedi la nota.

Supponiamo che $f$ sia periodica di periodo $T$ in modo che sia $f(x+kT)=f(x) AA k in Z$


Così avresti che esiste uno specifico $x$ per cui il valore di $f$ su di esso coincide col valore di $f$ sui punti che distano da lui per un multiplo intero di $T$, che non è quello che si intende con "funzione di periodo $T$", hai sbagliato la quantificazione, il punto è:
(*) $f(x+T)=f(x) \forall x\in\mathcal D_f$2
Se questo vale, allora vale anche (per conseguenza) che
$f(x+kT)=f(x)$ $\forall x\in\mathcal D_f$ e $\forall k\in\ZZ$ (con "doppia quantificazione")
semplicemente perché $x+kT=(x+(k-1)T)+T$ e $x+(k-1)T$ è un elemento del dominio di $f$, quindi si può applicare la condizione (*) prendendo "$x$"$=x+(k-1)T$ (c'è il bisticcio della $x$ che sembra la stessa di qua e di la, spero si capisca...in realtà l'uso corretto dei quantificatori serve anche a chiarire questi pasticci).

Per quanto riguarda la funzione costante, bella domanda :smt102 . La mia dimostrazione non funziona, proprio perché essa "ha periodo" qualunque numero reale (direi così, ammettendo che si possa definire un periodo per una funzione costante).


Bene, le funzioni costanti hanno periodo ogni $S\in\RR$, e se $g$ è costante lo è anche ogni sua (post)composizione $g\circ f$. La tua dimostrazione funziona e dice, correttamente, che se $T$ è un periodo di $f$ (che $T$ sia "minimo" o no, non importa) allora $T$ è un periodo anche per $g\circ f$; se ora prendi $g$ costante, allora anche $g\circ f$ è costante e quindi, ogni numero reale, non solo $T$, è un suo periodo. Ma evidentemente, se $T$ è IL periodo di $f$ non si può concludere (non sempre) che $T$ sia anche IL periodo della composizione $g\circ f$. Non che sia un dramma, d'altra parte, no? La cosa invece vale, per esempio, se $g$ è iniettiva sull'immagine di $f$...


Allora $g\circf=g(f(x))=g(f(x+kT)) AA k in Z$
e
$AA x in D$ di $f(x)$

"confondere" $f$ con $f(x)$ è un abuso di notazione frequente, e a volte pure utile, ma
$g\circf=g(f(x))$
non va bene: $f$ è il nome della funzione (formalmente è l'insieme di tutte le coppie ordinate $(t; f(t))$...cioè, il grafico, o, a seconda del contesto più o meno formale, la terna ordinata: dominio, codominio, grafico..), invece $f(x)$ è, nel tuo caso, un (semplice) numero: il valore che la funzione $f$ assegna all'elemento $x$ (ancorché generico). Quindi: "dominio di $f$", non "dominio di $f(x)$"; e "$(g\circ f)(x)=g(f(x))$", ok, "$g\circ f=g(f(x))$", no.

Note

  1. Se $f$ e $g$ sono due funzioni reali (cioè: assumono valori reali) di variabile reale (cioè: sono definite su sottoinsiemi di $\RR$), allora la loro "composizione", interpretate come "funzioni parziali", nell'ordine $g\circ f$, ha senso sul sottoinsieme
    $ \{x\in\RR | x\in \mathcal D_f \wedge f(x)\in\mathcal D_g}= f^{-1}(dom(g))$ (ossia: $\mathcal D_{g\circ f}= f^{-1}(\mathcal D_g)$).
    Questo è proprio quello che ogni studente delle superiori calcola (senza saperlo...) quando cerca il dominio di funzioni con un'espressione analitica un minimo articolata (per esempio la $f(x)=\ln(4\sin^2(x)-...)$ che citavi tu all'inizio).
    Nel caso, del tutto generale e "astratto", tu abbia due funzioni (meglio: due "applicazioni") $f: A\rightarrow B$ e $g: C\rightarrow D$ del tutto generiche (gli insiemi $A$, $B$, $C$, $D$ possono essere nemmeno parenti di $\RR$...), la loro composta si può considerare, ossia: $g$ e $f$ sono "componibili" (nell'ordine), nel caso in cui $B=C$ e in tal caso è la funzione $g\circ f: A\rightarrow D$ definita come $(g\circ f)(a):=g(f(a))$ per ogni $a\in A$. Includere il caso, apparentemente innocente, in cui $B\subseteq C$ potrebbe portare a problemi (problemi di "tipaggio" in informatica, algebra astratta, etc...), ma per funzioni reali di variabile reale è un po' "rigida".
  2. Data una funzione $f$ reale di variabile reale diciamo che $T\in \RR$ è un periodo di $f$ se:
    1) $\forall x\in \mathcal D_f$ risulta $x-T\in \mathcal D_f$ e $x+T\in \mathcal D_f$ (condizione di "periodicità" sul dominio);
    2) $\forall x\in \mathcal D_f$ risulta $f(x+T)=f(x)$.
    Osserva che, in particolare: $0$ è un periodo per ogni funzione e che, data una generica funzione $f$ si può considerare l'insieme di tuttii suoi "periodi" $P_f$. Questo insieme è non vuoto, infatti contiene sempre, almeno, $T=0$; inoltre, se $T\in\P_f$, allora anche tutti i multipli interi di $T$ sono necessariamente periodi di $f$, cioè se $T\in P_f$ allora $kT\inP_f$ per ogni $k\in\ZZ$. Se $f$ è costante allora $P_f=\RR$ (e viceversa), mentre se, per esempio, $f$ è iniettiva, allora $P_f=\{0\}$ (ma non il viceversa).
    Una funzione $f$ si dice periodica se ammette almeno un periodo non nullo (cioè $P_f\ne\{0\}$).
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Re: Calcolo periodo funzione applicando la definizione

Messaggioda BayMax » 12/10/2019, 15:26

Rieccomi qua ! Chiedo scusa se rispondo solo ora.
Innanzitutto ringrazio @axpgn per la doverosa precisazione sul dominio di funzioni composte e @alessio76 per l'esaustività della risposta ed il tempo dedicato.
Vediamo se ho capito un po' meglio ricapitolando i risultati da voi esposti:

f e g due funzioni in R


Vuoi dire che i domini di f e g sono sottoinsiemi di R o che hanno esattamente dominio R?
nel primo caso: "funzioni di variabile reale" è un'espressione adatta, sufficientemente vaga, compatta, non impegna; nel secondo basta dire "di dominio R" oppure definite su (tutto) R.


con due funzioni in R intendo due funzioni i cui domini sono sottoinsiemi di R o, al più, R stesso.

Supponiamo che f sia periodica di periodo T in modo che sia f(x+kT)=f(x)∀k∈Z


Così avresti che esiste uno specifico x per cui il valore di f su di esso coincide col valore di f sui punti che distano da lui per un multiplo intero di T, che non è quello che si intende con "funzione di periodo T", hai sbagliato la quantificazione, il punto è:
(*) f(x+T)=f(x)∀x∈Df2


Questo punto è chiaro, ho dimenticato il $AA x in R$; scrivere quello che ho scritto io, senza specificare la quantificazione, vuol dire riferirsi ad un solo valore di x specifico e non a tutti gli x.

Ma evidentemente, se T è IL periodo di f non si può concludere (non sempre) che T sia anche IL periodo della composizione g∘f. Non che sia un dramma, d'altra parte, no? La cosa invece vale, per esempio, se g è iniettiva sull'immagine di f...


Qui intendi che non si può concludere che IL periodo sia T in quanto non è detto che sia IL MINIMO PERIODO ? Ma un periodo qualsiasi, dico bene ? Sul fatto che la cosa invece valga per l'iniettività di g, perché questo è vero ? E comunque non parliamo più di g costante, giusto ? In quanto una funzione costante non è iniettiva.

"(g∘f)(x)=g(f(x))"


Anche questo è chiaro, ora. Su qualche testo, però, ho anche trovato scritto $g\circf(x)=g(f(x))$, senza la prima parentesi. E' ugualmente corretto ?

Grazie ancora !

Saluti :smt039 :smt039

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Re: Calcolo periodo funzione applicando la definizione

Messaggioda alessio76 » 12/10/2019, 16:11

Chiedo scusa se rispondo solo ora.

Figurati

ho dimenticato il $AA x in R$; scrivere quello che ho scritto io, senza specificare la quantificazione, vuol dire riferirsi ad un solo valore di x specifico e non a tutti gli x.

Se vuoi essere davvero formale, sì. Poi...spesso non si scrive la quantificazione, ma almeno deve esserti chiara l'interpretazione corretta.

Qui intendi che non si può concludere che IL periodo sia T in quanto non è detto che sia IL MINIMO PERIODO ? Ma un periodo qualsiasi, dico bene ?

Esatto: in quel caso ($g$ costante) la composta è costante, quindi ogni reale è un suo periodo. Quindi il "più piccolo" periodo non negativo per la composta verrebbe zero, possibilmente minore del periodo della $f$.
Ho volutamente evitato di definire IL periodo di una funzione periodica perché bisognerebbe avere una certa dimestichezza col concetto di estremo inferiore ("inf"), almeno per i sottoinsiemi di $\RR$...e la discussione diverrebbe eccessivamente tecnica. Sei uno studente delle superiori, giusto?

Sul fatto che la cosa invece valga per l'iniettività di g, perché questo è vero ? E comunque non parliamo più di g costante, giusto ? In quanto una funzione costante non è iniettiva. Qui intendi che non si può concludere che IL periodo sia T in quanto non è detto che sia IL MINIMO PERIODO ? Ma un periodo qualsiasi, dico bene ?
Sul fatto che la cosa invece valga per l'iniettività di g, perché questo è vero ? E comunque non parliamo più di g costante, giusto ? In quanto una funzione costante non è iniettiva.

Le funzioni costanti sono quanto di più lontano dall'essere iniettivo si possa immaginare: quindi sì, le funzioni costanti non sono iniettive. Comunque, una condizione sufficiente affinché $g\circ f$ abbia lo stesso periodo (quello "minimo") di $f$ è che la funzione esterna $g$ sia iniettiva sull'immagine della funzione interna $f$: per esempio, cosa succede se componi $f(x)=\sin(x)$ con (definendo $g$ "per casi", o "a tratti"...) $g(t):=1$ se $t\leq -1$, $g(t):=-t$ se $-1<t\leq 1$, $g(t)=-1$ se $t>1$? Nota che $g$ è ben lontana dall'essere (globalmente) iniettiva, ma se la restringi all'intervallo $[-1; 1]$ (fatti un grafico)...e "dimostra" che la composta $g\circ f$ coincide con la funzione $-\sin$.

Su qualche testo, però, ho anche trovato scritto $g\circf(x)=g(f(x))$, senza la prima parentesi. E' ugualmente corretto ?

Sì, ho messo le parentesi per aumentare la leggibilità....tuttavia non sono necessarie perché, per convenzione "la composizione ha la precedenza sulla valutazione" (non avrebbe del resto senso interpretarla diversamente....tuttavia...ho visto di tutto...quindi...).

Ciao!
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Re: Calcolo periodo funzione applicando la definizione

Messaggioda BayMax » 12/10/2019, 19:40

Sei uno studente delle superiori, giusto?


In realtà le superiori le ho finite da un pezzo e ho anche seguito corsi di analisi universitari :P , tuttavia, poiché mi piace la matematica, torno spesso su argomenti trattati tempo addietro per approfondirli sempre di più e tentare di capire il più possibile (talvolta ad un livello patologicamente eccessivo, cosa che mi ha fatto perdere tempo anche all'università). Ma nelle spiegazioni considerami anche uno studente delle superiori, non mi offendo affatto, anzi, più la spiegazione è semplice, più rimane impressa :-D

una condizione sufficiente affinché g∘f abbia lo stesso periodo (quello "minimo") di f è che la funzione esterna g sia iniettiva sull'immagine della funzione interna f


Di questa proprietà ci sarebbe una dimostrazione generica ? Il tuo esempio è chiaro, tuttavia rimane un caso particolare che non permette, da solo, l'estensione ad ogni funzione iniettiva (o restrizione iniettiva).
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Re: Calcolo periodo funzione applicando la definizione

Messaggioda alessio76 » 13/10/2019, 16:59

BayMax ha scritto:In realtà le superiori le ho finite da un pezzo e ho anche seguito corsi di analisi universitari :P , tuttavia, poiché mi piace la matematica, torno spesso su argomenti trattati tempo addietro per approfondirli sempre di più e tentare di capire il più possibile (talvolta ad un livello patologicamente eccessivo, cosa che mi ha fatto perdere tempo anche all'università). Ma nelle spiegazioni considerami anche uno studente delle superiori, non mi offendo affatto, anzi, più la spiegazione è semplice, più rimane impressa :-D


Ok, scusa, avevo frainteso...però allora il topic è solo in apparenza da scuola secondaria e forse andrebbe spostato.

BayMax ha scritto:
una condizione sufficiente affinché g∘f abbia lo stesso periodo (quello "minimo") di f è che la funzione esterna g sia iniettiva sull'immagine della funzione interna f


Di questa proprietà ci sarebbe una dimostrazione generica ? Il tuo esempio è chiaro, tuttavia rimane un caso particolare che non permette, da solo, l'estensione ad ogni funzione iniettiva (o restrizione iniettiva).

Sì c'è, e l'idea sarebbe che ci provi tu...però, a questo punto, devi partire da una definizione di "periodo". Non sono molti i libri di analisi che si prendono la briga di darne una definizione corretta, fra essi ci sono: Gilardi, De Marco, Cecconi-Stampacchia (in un esercizio, credo), Bertsch-Dal Passo-Giacomelli,...altri "barano" (non del tutto a torto, a posteriori) tirando di mezzo un non meglio precisato concetto di "il più piccolo". In quello che segue un riferimento adeguato è "De Marco, Analisi Uno, seconda edizione" (nella prima l'argomento era in Analisi zero e non era completo).

Allora, se $f$ è una funzione reale di variabile reale consideriamo l'insieme dei suoi periodi $P_f$. Diciamo che $f$ è periodica se $P_f\ne \{0\}$, ossia se esiste un $T\ne 0$ reale tale che: per ogni $x\in\mathcal D_f$ si ha anche $x\pm T\in \mathcal D_f$ e valgono le infinite uguaglianze $f(x+T)=f(x)$ (una per ogni $x\in \mathcal D_f$).
ESERCIZIO 1. Se $P_f\ne \{0\}$, allora $P_f\cap]0,+\infty[\ne\emptyset$. In altri termini: se $f$ ha un periodo non nullo ne ha uno positivo. L'ipotesi è che esiste un $T\ne 0$ che è un periodo di $f$, se è già $T>0$ non c'è nulla da dimostrare, se invece $T<0$ devi riuscire a esibirne uno positivo (magari costruito a partire da quel $T$...). Completa tu.

Se $f$ è una funzione periodica, definiamo $\tau_f:= \mbox{inf} (P_f\cap]0,+\infty[)$; se $\tau_f$ è un minimo, in particolare quindi deve essere $\tau_f>0$, diciamo che esso è il periodo della funzione $f$.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
ESERCIZIO 2 (facoltativo). $P_f$ è un sottogruppo additivo di $\RR$.

ESERCIZIO 3 (facoltativo). Se $\tau_f>0$ è il periodo di $f$, allora $P_f=\ZZ\tau_f$ (sottogruppo additivo discreto dei reali).

La nozione formale di "periodo" nasconde delle insidie proprio perchè $P_f$ è un sottogruppo additivo di $\RR$. Quando va bene è un sottogruppo discreto (del tipo $\ZZa$ per qualche $a\in \RR$), altrimenti si tratta di un sottogruppo denso in $\RR$; per quanto ne so la classificazione di questi oggetti è poco trattabile...
https://www.ams.org/journals/jams/2003- ... 0409-5.pdf
Esistono funzioni periodiche non costanti prive di periodo minimo (il $\tau$ viene $0$) "complicate" tanto quanto possono essere complicati i sottogruppi $P_f$. Non possono però essere funzioni continue (altro "esercizio" facoltativo). Esempio: la funzione caratteristica dei razionali $\chi_\QQ$ (o funzione di Dirichlet), quella che vale $1$ sui razionali e $0$ altrove, ha ogni razionale come periodo: $P_{\chi_\QQ}=\QQ$; inoltre $\tau_{\chi_\QQ}=0$.


ESERCIZIO 4. Se $f$ è periodica, con periodo $\tau_f>0$, e $g$ è una funzione tale che $\mbox{Im}(f)\subseteq \mathcal D_g$ e $g_{|\mbox{Im}(f)}$ è iniettiva, allora $g\circ f$ è periodica e $\tau_{g\circ f}=\tau_f$. Suggerimento: dimostra, nelle ipotesi dette, l'uguaglianza di insiemi $P_{g\circ f}=P_f$.
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Re: Calcolo periodo funzione applicando la definizione

Messaggioda BayMax » 15/10/2019, 19:00

Ciao ancora alessio76 !

Scusa se rispondo di nuovo in ritardo, ma è un periodo davvero pieno. Sei stato davvero esaustivo e, appena potrò, cercherò di procurarmi qualcuno dei testi che hai consigliato. Per quanto riguarda corsi di analisi ho usato, in passato, il Marcellini-Sbordone o il Bramanti-Pagani-Salsa, anche se, ultimamente, mi è capitato di avere tra le mani il Pagani-Salsa (senza Bramanti), libro di un paio di decenni fa come minimo e l'ho trovato davvero completo, ma non ricordo proprio se tratti o meno la definizione di periodo. Per quanto riguarda i sottogruppi additivi ti confesso la mia totale ignoranza in materia e che è la prima volta che mi capita di incontrare questa definizione :oops: , ma mi informerò a riguardo.

Appena potrò cercherò di risolvere e postare qui i tuoi esercizi.

Grazie davvero !!

Saluti :smt039 :smt039

BayMax

P.S. E' davvero bello e stimolante quando, da una domanda particolare, ci si sposta a trattare l'intero argomento in una maniera più generale possibile, per capirlo al meglio e saper trattare TUTTI i casi particolari.
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