L'immagine di una mappa non lineare contiene una palla

Messaggioda obnoxious » 09/10/2019, 22:46

Esercizio. Sia \( \mathbb{M}_2 (\mathbb{R}) \) l'insieme delle matrici \( 2 \times 2\) ad entrate reali (per esempio con la norma di Frobenius). Si consideri la mappa \( f : \mathbb{M}_2 (\mathbb{R}) \to \mathbb{M}_2 (\mathbb{R}) \) definita da \( X \mapsto X + X^2 \). Mostrare che \( f(\mathbb{M}_2 (\mathbb{R})) \) contiene una palla di centro l'origine.
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Re: L'immagine di una mappa non lineare contiene una palla

Messaggioda spugna » 10/10/2019, 23:04

Non basta dire che...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
... $Df$ ha determinante non nullo in $0$?
$2019=phi^15+phi^13+phi^10+phi^4+phi^2+phi^0+phi^(-2)+phi^(-4)+phi^(-11)+phi^(-16)$
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Re: L'immagine di una mappa non lineare contiene una palla

Messaggioda obnoxious » 11/10/2019, 13:18

Si', ma perche'?
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Re: L'immagine di una mappa non lineare contiene una palla

Messaggioda spugna » 15/10/2019, 12:02

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Perché i coefficienti di $X^2$ sono polinomi omogenei di secondo grado, quindi le loro derivate parziali sono o $0$ o dei polinomi omogenei di primo grado, che valutati nell'origine danno $0$, perciò il termine $X^2$ non influisce su $Df|_0$, mentre dal termine $X$ si ottiene chiaramente la matrice identità.
$2019=phi^15+phi^13+phi^10+phi^4+phi^2+phi^0+phi^(-2)+phi^(-4)+phi^(-11)+phi^(-16)$
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Re: L'immagine di una mappa non lineare contiene una palla

Messaggioda obnoxious » 15/10/2019, 13:24

Si' ok, ma volevo che mi giustificassi meglio l'implicazione \( D f (0,0) \) invertibile \( \Longrightarrow f (\mathbb{R}^2) \) contiene un intorno di \( (0,0)\).
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Re: L'immagine di una mappa non lineare contiene una palla

Messaggioda spugna » 16/10/2019, 23:14

Beh, è l'enunciato del teorema della funzione inversa, che davo per buono (anche perché non mi ricordo come si dimostra :roll: )
$2019=phi^15+phi^13+phi^10+phi^4+phi^2+phi^0+phi^(-2)+phi^(-4)+phi^(-11)+phi^(-16)$
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