Forma bilineare simmetrica e definitezza

Messaggioda alifasi » 12/10/2019, 16:40

Svolgendo alcuni esercizi ho trovato due affermazioni sul mio eserciziario che mi lasciano perplesso perché pur avendo studiato di pari-passo la teoria non riesco a comprendere.
E' quindi evidente che ho trovato una lacuna che vorrei provare a colmare con voi.

Le affermazioni che non capisco sono:
1)
- se la forma bilineare simmetrica è definita positiva non vi sono sicuramente vettori isotropi.
- semidefinita => gli unici isotropi sono quelli del radicale
- indefinita => non ho ben capito come fare a scovare gli isotrpi.

Diciamo che oltre al dubbio sul terzo punto, quello che non riesco a capire è perché "se definita positiva non vi sono sicuramente vettori isotropi". In realtà a me viene da pensare che essendo simmetrica peril teorema spettrale posso avere la corrispondente matrice diagonale (sicuramente) e quindi noto che se è definita allora il prodotto degli autovalori (sulla diagonale) è uguale al determinante della matrice associata al prodotto scalare ergo è NON DEGENERE (non avere autovalori nulli mi garantisce il prodotto non si annulli). Purtuttavia so anche che esistono forme non degeneri che hanno vettore isotropo e quanto ho ipotizzato (cioè che non sia degenere) non basta per indurre qualcosa sugli isotropi. Quindi perché tira fuori quella conclusione mi è molto misterioso.

[EDIT] Che stupido se è definito positivo $(v,v)>0≠0$ :lol: ho fatto tutto il ragionamento sul teorema spettrale inutilmente.

2) Passando al dubbio 2:
RIassumendo l'autore dice che la molteplicità algebrica dell'autovalore nullo è la dimensione del radicale (o nucleo come lo chiama il libro di testo). Non ho capito perché anche qui e proprio non so dire nulla a riguardo sul come giunga a tale conclusione.

Spero in aiuti perché sono un po' perso.
alifasi
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Re: Forma bilineare simmetrica e definitezza

Messaggioda alifasi » 14/10/2019, 19:47

Nessuno ptrebbe darmi una mano per favore :roll: :oops:
alifasi
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Re: Forma bilineare simmetrica e definitezza

Messaggioda Bokonon » 14/10/2019, 22:11

Ciao Alifasi

Capisco un po' la confusione iniziale e per far chiarezza è meglio prima definire cosa si intende per prodotto scalare $<v,w>$ che, nella sostanza, quando si parla di vettori è $x^TAx$.
1) presi due vettori a e b allora $a*b=b*c$ Tradotto, vogliamo che il prodotto scalare soddisfi la proprietà commutativa e, affinchè accada, A deve essere una matrice simmetrica (prova a vedere cosa accade se non lo è).
2) gode della proprietà distributiva per cui $alphaa*(betab+gammac)=alphabetaa*b+alphagammaa*c$ questa è chiamata anche bilinearità ed A deve soddisfarla

Le proprietà 1) e 2) definiscono il prodotto scalare nel senso più ampio possibile, ma (e qui la cosa si fa controversa) la gran parte degli autori auspicano che debba valere anche la proprietà 3) $v*v>0$ perchè è una proprietà naturale e desiderabile che una lunghezza sia positiva. Altri autori dicono che va bene anche $v*v<0$. Immagino che il tuo prof ti abbia dato una direzione ben precisa e probabilmente è con la maggioranza, quindi nella sostanza vogliamo che $x^TAx>0$, ovvero che A sia definita positiva.

Altre definizioni:
a) $x^TAx>0 rArr$ A è una matrice definita positiva
b) $x^TAx<0 rArr$ A è una matrice definita negativa
c) $x^TAx>=0 rArr$ A è una matrice semidefinita positiva
d) $x^TAx>=0 rArr$ A è una matrice semidefinita negativa
e) quando $x^TAx!=0$ ma non è ne a) ne b) allora la matrice A è indefinita

Ci sono altri test per provare come è definita una matrice, ne elenco solo uno perchè ha particolare rilevanza con l'oggetto del thread. Dato che A è simmetrica (vedi sopra), ha sempre autovalori reali ed è sempre diagonalizzabile ed è sempre possibile trovare una base di autovettori ortonormale per il teorema spettrale.
a) se tutti gli autovalori di A sono positivi, allora A è una matrice definita positiva
b) se tutti gli autovalori di A sono negativi, allora A è una matrice definita negativa
c) se gli autovalori di A sono positivi ed almeno uno zero, allora A è una matrice semidefinita positiva
d) se gli autovalori di A sono negativi ed almeno uno zero, allora A è una matrice semidefinita negativa
e) se gli autovalori sono solo positivi o negativi, allora A è indefinita

Ovviamente il vettore nullo per se stesso da 0, questo è vero sempre.
Se esistono altri vettori, che non siano il vettore nullo, per cui $<v,v> =0$ allora vengono chiamati vettori isotropi.
Infine un prodotto scalare per cui $<v,w> =0$ in cui entrambi i vettori sono diversi dal vettore nullo, viene definito prodotto scalare degenere.

Se una matrice simmetrica A ha almeno un autovalore pari a 0, significa che è singolare. Infatti $det(A)$ è il prodotto degli autovalori...se almeno uno è zero, allora $det(A)=0$.
Una matrice singolare ha sempre infinite soluzioni del sistema omogeneo $Ax=0$, questo perchè il suo kernel (chiamato anche nucleo o spazio nullo) ha dimensione $>0$ (in altre parole, il vettore nullo non è l'unica soluzione del sistema).
Il radicale di A non è altro che il suo kernel: infatti, se A ha un autovalore pari a 0 allora $(A-0*I)x=Ax=0$. Quindi se la matrice è semidefinita, ha un radicale con con dimensione $>0$
Se prendiamo un qualsiasi autovettore $v$ legato a $lambda=0$, allora $v^TAv=v^T(Av)=v^T*{0}=0$
Quindi tutti gli autovettori dell'autospazio legato a $lambda=0$ sono isotropi e ci sono infiniti vettori $w$ per cui $<v,w> =0$: quindi è un prodotto scalare degenere.

Se A è definita positiva/negativa, allora il prodotto scalare non è mai ne degenere ne vi sono altri vettori oltre a quello nullo per cui $<v,v> =0$.
Quindi resta solo un'ultima casistica da considerare: ovvero quando A non è definita.
In questo caso, $det(A)!=0$ quindi il prodotto scalare non è mai degenere.
Però, ci sono vettori isotropi per cui $<v,v> =0$

Quando avrai digerito tutto il malloppone e ti sarai tolto ogni dubbio su tutto il resto, allora ci ragioniamo insieme con un esempio.
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Re: Forma bilineare simmetrica e definitezza

Messaggioda alifasi » 15/10/2019, 19:15

Innanzitutto grazie davvero e complimenti per la chiarezza.

Dopo numerose riletture credo proprio di esserci, mi sembra di non arenarmi più su nessun passaggio.

Forse so anche come giustificare che "l'autore dice che la molteplicità algebrica dell'autovalore nullo è la dimensione del kernel"
Correggimi se sbaglio :) come mi hai mostrato $(A-0*I)x=Ax=0$ sto proprio calcolando la dimensione dell'autospazio legato a $\lambda=0$ (detta molteplicità geometrica di $\lambda=0$).
Siccome siamo nel caso simmetrico (matrici simmetriche) sappiamo che per il teorema spettrale è diagonalizzabile.Tuttavia una matrice è diagonalizzabile se e solo se la molteplicità geometrica coincide con quella algebrica di ogni autovalore.

------
Un piccolo OT: quel che mi afflige è che credo si aver davvero afferrato il discorso che hai fatto, eppure temo di dimenticarlo o "incasinarmi" nel ripeterlo tra un po' di tempo. Sinceramente penso di averlo davvero capito ma non capisco davvero come fissarlo. Posso chiederti come diaminefai ad avere tanta chiarezza in mente? :)
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Re: Forma bilineare simmetrica e definitezza

Messaggioda Bokonon » 15/10/2019, 20:02

Prego.
Magari puoi fare un copia e incolla per tenerla come scaletta mentale, nel caso di vettori a valori reali/complessi.
Lo sottolineo perchè la definizione di prodotto scalare si estende anche ad altri campi come le funzioni e in quel caso il prodotto scalare è definito da un integrale definito...per questo motivo è un concetto più esteso.

Riguardo la giustificazione: si, puoi chiamare in causa il teorema spettrale, però c'è un teorema più semplice che si può applicare.
Visto che la soluzione omogenea del sistema $(A-lambdaI)x=0$ coincide con $Ax=0$ quando $lambda=0$, allora, dato che la matrice A è quadrata di dimensione n, si avrà $rango(A)=r=dim Im(A)$
Quindi il kernel/radicale avrà, in base al teorema di rango + nullità, sempre dimensione $dim Ker(A)=n-r$.
In altre parole, rispetto all'autovalore 0 troverai sempre che m.a=n-r=m.g.
Questo vale indipendentemente dal fatto che la matrice sia diagonalizzabile o meno.

Per il resto è solo questione di pratica...anche se devo dire che la visione geometrica di tutto ciò che accade la devo a Strang. Se capisci l'inglese e vuoi seguire un corso più concettuale che formale ti consiglio vivamente questo: https://www.youtube.com/playlist?list=P ... BF13BECF6C
Puoi saltare tutti i video che NON sono numerati 1,2,3.... etc. perchè sono video di assistenti o specifici.
Quando arriverai a 10. The Four Fundamental Subspaces vedrai quella che lui chiama The Big Picture
In Italia si concentrano e in modo formale solo su due di questi spazi, immagine e kernel/null space
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Re: Forma bilineare simmetrica e definitezza

Messaggioda alifasi » 16/10/2019, 12:37

Wow, grazie! Molto chiaro.

Sono stato fortunato a incontrarti virtualmente su questo forum. Non conoscevo il link (non avevo mai pensato di guardare sul tubo per questo materiale) ho visto le prime 2 e mi piace molto.

Buona giornata!

PS: grazie anche per l'aiuto di là :)
alifasi
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Re: Forma bilineare simmetrica e definitezza

Messaggioda Bokonon » 16/10/2019, 15:15

Prego
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