Operatori lineari e norma

[PaoloV]

In $H=L^2[-\pi,\pi]$ è definito $Tf(x)=g(x)$ dove $g(x)=cos(x)f(-x)+sin(x)f(x)$ . Mostrare che T è limitato e trovarne la norma.

Quindi se ho capito, calcolo la norma e vedo se è limitato oppure no. CIoè calcolo

$||Tf||^2=\int_(-\pi)^(+\pi)(cos^2x|f(-x)|^2+sin^2x|f(x)|^2+sinx cosx (f(x)f^** (-x)+f(-x)f^**(x))) text(d) x$

(il + in apice sarebbe l'asterisco di complesso coniugato, non riuscivo a metterlo) . E...qua mi fermo Sono almeno partito bene? Qualche aiuto?

[gugo82]

Chiaramente l’integrale che definisce il quadrato della norma si spezza in quattro “pezzi”, i.e.:

$I_1 := int_(-pi)^pi cos^2 x\ |f(x)|^2\ text(d) x$

$I_2 := int_(-pi)^pi sin^2 x\ |f(-x)|^2\ text(d) x$

$I_3 := int_(-pi)^pi cos x\ sin x\ f(x)\ f^**(-x)\ text(d) x$

$I_4 := int_(-pi)^pi cos x\ sin x\ f^**(x)\ f(-x)\ text(d) x$

Prima di usare ovvie maggiorazioni, per semplificare la somma $I_1+I_2+I_3+I_4$ negli integrali $I_2$ ed $I_4$ si può fare il cambiamento di variabile $y=-x$.
Prova e vedi cosa ne viene fuori.

[PaoloV]

Ok, quindi con quella sostituzione otterrei


$I_1 := - int_(+pi)^(-pi) cos^2 (-y)\ |f(-y)|^2\ text(d) y=int_(-pi)^(+pi) cos^2 (y)\ |f(-y)|^2\ text(d) y$

e analogo per l'altro con il seno

$I_2 := int_(-pi)^pi sin^2 y\ |f(y)|^2\ text(d) y$

Per quelli "misti" diciamo avrei invece sia un -1 che viene fuori dalla sostituzione (che uso come prima per riordinare gli estremi dell'integrale) sia un -1 che resta perchè $sin(-x)=-sin(x)$ .Quindi


$I_3 := - int_(-pi)^pi cos y\ sin y\ f(-y)\ f^**(y)\ text(d) y$

$I_4 := - int_(-pi)^pi cos y\ sin y\ f^**(-y)\ f(y)\ text(d) y$

Sperando di non aver detto cose da farti rabbrividire, ancora non vedo la via d'uscita. Sopratutto per la $f(x)$. Cioè posso dire che $|f(x)|^2=|f(-x)|^2$ ?

Grazie davvero per il tuo aiuto.

[gugo82]

E pensare che ti avevo suggerito di fare il cambiamento di variabile solo in $I_2$ ed $I_4$…

[obnoxious]

Ok, quindi con quella sostituzione otterrei


$I_1 := - int_(+pi)^(-pi) cos^2 (-y)\ |f(-y)|^2\ text(d) y=int_(-pi)^(+pi) cos^2 (y)\ |f(-y)|^2\ text(d) y$

[...]

Qui c'è già un errore. Con il cambio di variabile \( -x = y\) hai che \[ \begin{split} \int_{- \pi}^\pi \cos^2 (x) |f(-x)|^2 \, dx & =\int_{- \pi}^\pi \cos^2 (-x) |f(-x)|^2 \, dx \\ & = - \int_{\pi}^{- \pi} \cos^2 (y) |f(y)|^2 \, dy \\ & = \int_{- \pi}^\pi \cos^2 (y) |f(y)|^2 \, dy. \end{split} \]
Per trattare i termini "misti" puoi benissimo usare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: \[ \begin{split} \left| \int_{-\pi}^\pi \sin(x) \cos(x) f(x) f^* (-x) \, dx \right| & \le \left( \int_{- \pi}^\pi \cos^2 (x) |f^* (-x)|^2 \, dx \right)^{1/2} \left( \int_{- \pi}^\pi \sin^2 (x) |f (x)|^2 \, dx \right)^{1/2} \\ & \le \left( \int_{- \pi}^\pi |f^* (-x)|^2 \, dx \right)^{1/2} \left( \int_{- \pi}^\pi |f (x)|^2 \, dx \right)^{1/2} \end{split} \]etc...

[PaoloV]

Che sciocco, avevo frainteso il tuo suggerimento. Avevo capito che facendo quella sostituzione avrei visto che rimanevano solo $I_2$ e $I_4$ e ovviamente non capivo. Certo, quindi alla luce di ciò posso, dopo aver sostituito, cambiare di nuovo nome alla variabile e dire che

$I_1+I_2=\int_(-\pi)^pi (cos^2x+sin^2x)|f(x)|^2dx=\int_(-\pi)^pi |f(x)|^2dx$ è corretto?

mentre

$I_3+I_4=\int_(-\pi)^pi cosx sinx[f(x)f^(**)(-x)-f(x)f^(**)(-x)]=0$ è corretto?


Obnoxius non ho capito la faccenda dell'errore, l'integrale iniziale in x è $\int cos^2(x) |f(x)|^2$ non $\int cos^2(x) |f(-x)|^2$ . La questione della disuguaglianza triangolare non l'ho capita, quindi quella somma non è nulla come ho detto?

Ah no hai ragione, avevo guardato quelli riportati da gugo che credo abbia invertito per sbaglio. Comunque quindi secondo il suggerimento iniziale del cambio di variabili dovrei comunque trovare lo stesso risultato, cambia solo su quale "pezzo" è meglio farlo direi, no?

[obnoxious]

[...] l'integrale iniziale in x è $\int cos^2(x) |f(x)|^2$ [...]

Beh... no. Rileggi il tuo primo post. Io vedo scritto \( \cos^2(x) |f(-x)|^2 \).

[...] La questione della disuguaglianza triangolare non l'ho capita, quindi quella somma non è nulla come ho detto? [...]

Non ho usato la disuguaglianza triangolare, e non ho nemmeno detto che quella somma non sia nulla. E' un modo diverso per provare la limitatezza dell'operatore.

Il resto mi sembra corretto. Addirittura hai dimostrato che \( \| Tf\|_2 ^2 = \|f\|_2 ^2 \), cioè \(T\) è un'isometria.

[PaoloV]

Ok bene, quindi per rispondere alla domanda posso concludere dicendo che l'operatore è limitato ed ha norma 1 , giusto?

[obnoxious]

Yep.