Una versione semplificata dell'Ultimo Teorema di Fermat

[j18eos]

Considerata l'equazione diofantea
\[
a^n+b^n=p^n
\]
con \(\displaystyle n\in\mathbb{N}_{\geq3},\,a,b,p\in\mathbb{Z}\).

Dimostrare che esistono solo le soluzioni banali¹ con \(\displaystyle p\in\mathbb{P}\), ovvero con \(\displaystyle p\) numero primo.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

È oltre una settimana che vedo e leggo, in maniera assolutamente errata, di questo teorema;
a questo punto, propongo un esercizio vero che ammette una soluzione elementare.

---

Note

1. Intendo per banale quelle soluzioni che si ottengono per \(\displaystyle a=0\) o \(\displaystyle b=0\). ↑

[axpgn]

Beh, una soluzione c'è

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Se $b=0$ … forse era meglio in $NN$ …

[j18eos]

A forza di sentirlo\leggerlo male, lo sto scrivendo anch'io male...

[j18eos]

Ho scoperto per caso questo è un problema dell'ammissione alla Normale di Pisa (quesito 3 - 2002/2003)...

Forza su!

[totissimus]

Nessuno ancora ha postato una risposta, quindi proponga la mia soluzione.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Il mio ragionamento si basa su questi due punti di facile dimostrazione
1) Per induzione si prova che
$a^{2n-1}+b^{2n-1}=\sum_{k=1}^{n}c_{k}(ab)^{n-k}(a+b)^{2k-1}$ con $c_{k}\in\mathbb{Z}$

2) le uniche soluzioni intere dell'equazione
$x^{n}+y^{n}=1$ sono $x=0,y=\pm1$ oppure $x=\pm1,y=0$

Considero i seguenti tre casi

1 caso) esponente dell'equazione diofantea dispari $2n-1$ con $n>1$

$$a^{2n-1}+b^{2n-1}=p^{2n-1}$$

applicando la 1) abbiamo:

$$p^{2n-1}=\sum_{k=1}^{n}c_{k}(ab)^{n-k}(a+b)^{2k-1}=(a+b)\sum_{k=1}^{n}c_{k}(ab)^{n-k}(a+b)^{2k-2}$$

essendo $p$ primo si deve avere
$p|(a+b)$ e $p|\sum_{k=1}^{n}c_{k}(ab)^{n-k}(a+b)^{2k-2}$ da cui segue che

$p|ab$ e quindi $p|a$ o $p|b$. Se $p|a$ da $b^{2n-1}=p^{2n-1}-a^{2n-1}$
segue $p|b$. Quindi $p|a$ e $p|b$. Possiamo dunque scrivere

$\left(\frac{a}{p}\right)^{2n-1}+\left(\frac{b}{p}\right)^{2n-1}=1$
e per la 2) deve essere $a=0$ o $b=0$

2 caso ) l'esponente contiene un fattore dispari

$a^{mn}+b^{mn}=p^{mn}$ con $m$ dispari

$\left(a^{n}\right)^{m}+\left(b^{n}\right)^{m}=p^{mn}$

Ci si riconduce facilmente al caso precedente e quindi $a^{n}=0$ o $b^{n}=0$

3) caso esponente multiplo di 4

$a^{4m}+b^{4m}=p^{4m}$

Se $a$ e $b$ sono entrambi pari allora $p=2$ e quindi $\left(\frac{a}{p}\right)^{4m}+\left(\frac{b}{p}\right)^{4m}=1$
da cui $a=0$ o $b=0$.

Supponiamo che sia $a>=0$ dispari .

$a^{4m}=p^{4m}-b^{4m}=(p^{2m}-b^{2m})(p^{2m}+b^{2m})$

Se i due fattori $p^{2m}-b^{2m},p^{2m}+b^{2m}$ hanno un fattore primo
comune $q$ si ha:

$q|(p^{2m}-b^{2m})$ e $q|(p^{2m}+b^{2m})$ da cui segue $q|2p^{2m}$ e $ q|2b^{2m}$
e quindi $q|p$ e $ q|b$ e quindi $q=p$ e $ p|b$ e quindi anche $p|a$ pertanto

$\left(\frac{a}{p}\right)^{2m}+\left(\frac{b}{p}\right)^{2m}=1$ da
cui $a=0$ o $ b=0$.

Se i due fattori $p^{2m}-b^{2m},p^{2m}+b^{2m}$ sono coprimi devono
esistere due interi $u,v$ coprimi tali che

$p^{2m}-b^{2m}=v^{4m}$, $p^{2m}+b^{2m}=u^{4m}$

Dalla seconda uguaglianza discende

$p^{2m}=u^{4m}-b^{2m}$

$p^{4m}=(u^{2m}-b^{m})(u^{2m}+b^{m})$

i due fattori a secondo membro devono essere potenze di $p$

$u^{2m}-b^{m}=p^{i}$,$u^{2m}+b^{m}=p^{4m-i}$ con $0\leq i<2m$

Da queste ricaviamo:

$u^{2m}=\frac{p^{4m-i}+p^{i}}{2}$,$b^{m}=\frac{p^{4m-i}-p^{i}}{2}$

Se $i>0$ allora $p|b$ e quindi anche $p|a$ e come abbiamo visto
sopra $a=0$ o $ b=0$

Quindi $i=0$ e $u^{2m}=\frac{p^{4m}+1}{2}$,$b^{m}=\frac{p^{4m}-1}{2}$

Dalla seconda uguaglianza adesso ricaviamo

$p^{2m}-\left(\frac{p^{4m}-1}{2}\right)^{2}=v^{4m}$

$p^{4m}-6p^{2m}+4v^{4m}+1=0$

Il discriminante rispetto a $p^{2m}$ uguale a $4\left(2-v^{4m}\right)$

Il solo valore accettabile di $v$ è $v=1$ e quindi

$p^{4m}-6p^{2m}+5=0$ le cui soluzioni sono

$p^{2m}=1,p^{2m}=5$ ovviamente non accettabili.
Ho considerato tutti i possibili casi dell'esponente dell'equazione diofantea quindi questa ha solo soluzioni banali se l'esponente è maggiore di 2.

[j18eos]

Il caso (1) mi è chiaro... scusa l'attesa, ma tutti 'sti calcoli devo controllarli a mente fresca e calma.

[j18eos]

Ri-eccomi qua: il caso (2) è chiaro.

Ho una domanda sul caso (3):

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

non si fa prima a supporre che l'esponente sia una potenza di \(\displaystyle2\)?