da Nikikinki » 15/10/2019, 18:52
Non so se continuerò a scrivere sul forum oppure no, ma ricordo quanto terrore possa mettere la mole di dubbi prima di un esame e ti vedo parecchio con l’acqua alla gola e mi spiacerebbe lasciarti affogare, quindi andiamo a capire un po’ questo problema.
Il perché “sei autorizzato a farlo” è scritto nel fatto che l’equazione differenziale dell’oscillatore armonico può essere risolta per via algebrica con gli operatori di creazione e distruzione (o annichilimento come dici tu). Diventa una equazione algebrica e la conclusione potentissima è che ogni cosa che ha quella forma come equazione differenziale, avrà la stessa algebra di questi operatori e questa connessione dà una misura del fatto che “l’oscillatore armonico” sia il prototipo di una quantità incredibile di fenomeni fisici che parrebbero non uniti direttamente, ma lo sono per via dell’algebra intrinseca che condividono.
Comunque
$a|\beta> = \beta |\beta>$
Puoi osservare che l’operatore di creazione non essendo autoaggiunto non impone la realtà dell’autovalore, come invece vogliono tutti gli operatori che normalmente si usano in quantistica, visto che una misura, se ha senso fisico, deve essere reale.
Possiamo sviluppare in serie, ometto un po’ di notazioni (la serie va fino all’infinito e stiamo sommando su n )
$"|"\beta> = \sum c_n "|"n>$
ed usando le proprietà degli operatori in questione (almeno quelle le do per scontato) troviamo
$a"|"\beta> =[ \sum c_n \sqrt(n) "|"n-1> ]= \sum \beta c_n "|"n>$
Nella serie che ho messo tra [] sostituiamo $n \rightarrow n+1$ (rigorosamente dovresti porre $n=s+1$ ,poi riordinare la serie e poi cambiare di nuovo s con n), ed il senso fisico di quello che abbiamo scritto rende comunque nullo il primo termine visto che non ci può essere uno stato di energia inferiore al fondamentale, quindi la morale è che puoi eguagliare gli argomenti delle serie
$ \sum c_(n+1) \sqrt(n+1) "|"n> = \sum \beta c_n "|"n>$
E devono essere uguali anche i coefficienti, quindi trovi una successione per ricorrenza
$c_(n+1)=\beta c_n/(\sqrt(n+1))$ .
Scriviti qualche termine di questa successione e vedrai di poter scrivere
$c_n=c_0 \beta^n/\sqrt(n!)$
Ma allora
$"|"\beta> = c_0\sum\beta^n/\sqrt(n!) "|"n> = c_0\sum \beta^n a^(+^n)/(n!) "|"0>$
La costante rimasta la trovi usando la normalizzazione
$<\beta"|"\beta> = |c_0|^2\sum |\beta|^n/(n!)=|c_0|^2 e^(|\beta|^2)=1 $
Tutto questo per farti toccare con mano la formula che ora possiamo usare per risolvere il tuo problema ovvero
$"|"\beta> = e^(-|\beta|^2/2) \sum \beta^n a^(+^n)/(n!) "|"0> = e^(-|\beta|^2/2) e^(\beta a^+) "|"0> $
Anche se sarà più utile nella forma di prima ma ora abbiamo la costante giusta.
C’è un teorema che si fa all’inizio in genere che si chiama teorema di Hellman-Feynman che ci permette di dire che la variazione dell’energia del livello n-esimo è
$\deltaE_n = <n"|"V"|"n>$
Vattelo a riguardare e verifica per esercizio che le ipotesi permettono di applicarlo al tuo caso.
A noi interessa la variazione sul fondamentale, quindi
$\deltaE_0 = <0"|"V"|"0> = <0"|"\lambda cos(\alpha x)"|"0> = \lambda <0"|"(e^(i\alphax)+e^(-i\alphax))/2"|"0> $
Avendo scritto il coseno in forma esponenziale complessa.
Ora devi scrivere l’operatore di posizione $x$ in termini degli operatori di costruzione e distruzione, quindi
$x=L/\sqrt(2)(a+a^+)$ dove L è dato da $L^2=\barh/(m\omega)$
ed è la lunghezza caratteristica dell’oscillatore armonico.
Basta notare che, rispetto alle relazione trovate prima , $|\beta|=\alphaL/\sqrt(2)$ quindi è tutto risolto infatti , ricordando l’ortonormalità degli autostati,
$\deltaE_0 = \lambda/2 [<0"|"\beta>+<0"|"\beta>] = \lambda e^(-|\beta|^2/2)$
E questo è quanto. Spero di non aver fatto errori nello scrivere, se noti apici/pedici strani o ambigui , cose che non capisci etc fammelo notare.