Re: Convergenza quasi certa per una serie di Bernoulli

Messaggioda arnett » 13/10/2019, 17:18

Sì sì esatto ho corretto l'errore di battitura. Se $S_n$ fosse limitata in modulo potremmo passare da probabilità a $L^1$, ma non lo è. In effetti basta uniformemente integrabile, forse su questo ci sono speranze.
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Re: Convergenza quasi certa per una serie di Bernoulli

Messaggioda feddy » 13/10/2019, 17:54

Per l'uniforme integrabilità, devo mostrare che dato $\varepsilon >0$ posso sempre trovare $K\geq 0$ tale che $E[|Y_n| 1_{|Y_n| \geq K}] < \varepsilon$

Ma $|Y_n|=\frac{1}{n}$, quindi se scelgo $K> \frac{1}{n}$, allora ho che $E[|Y_n|1_{|Y_n| \geq K}] =0 < \varepsilon$
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Re: Convergenza quasi certa per una serie di Bernoulli

Messaggioda feddy » 13/10/2019, 17:57

Ups questo va mostrato per la somma però
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Re: Convergenza quasi certa per una serie di Bernoulli

Messaggioda arnett » 13/10/2019, 18:19

Eh sì e non è facile perché $K$ non deve dipendere da $n$ e però $S_n$ può in generale superare $K$ in diversi modi con probabilità non facili da calcolare, cioè intuitivamente sembra essere vero ma non è facile mostrarlo. Uhm. Ho diverse idee ma nessuna buona credo.
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Re: Convergenza quasi certa per una serie di Bernoulli

Messaggioda feddy » 15/10/2019, 17:36

Update: ho "scoperto" che questo esercizio va risolto utilizzando il seguente teorema (cui dobbiamo acnora arrivare tra l'altro), ecco il motivo per cui non capivo dove andare a parare.

Sia $(X_n)_n$ una martingala w.r.t $(F_n)_n$ e sia $F_{\infty}= \sigma(F_n: n \in NN) $ Allora sono equivalenti
i) La martingala $(X_n)_n$ è uniformemente integrabile
ii) Esiste una variable aleatoria $F_{\infty}$ misurabile $X$ tale che $X_n \rarr X$ q.c. e in $L^1$



La domanda ora è: nel testo dell'esercizio, chi è la martingala? Quello che mi verrebbe naturale dire è che sia $X_n=\sum_{k=1}^{n} \frac{X_k}{k}$ con la filtrazione "ovvia" data da $F_n= \sigma(X_1,\ldots,X_n)$.

L'uniforme integrabilità di quest'ultima però ancora non mi viene: dovrei mostrare che $\text{sup}_{n} E[|X_n|] < \infty$, ma purtroppo maggiorando non vado da nessuno parte poiché

$E[|X_n|] =E[|\sum_{k=1}^{n} \frac{X_k}{k}|] \leq sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} E[|X_k|] = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \cdot 1 \rarr_{n \rarr + infty} + \infty$

Idee?
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Re: Convergenza quasi certa per una serie di Bernoulli

Messaggioda arnett » 15/10/2019, 18:40

Certamente le troncate $S_n$ della serie sono una martingala, ci avevo già pensato, il massimo che sono arrivato a dire è che $\mathbb{E}[S_n]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[S_n|S_{n-1}]]=\mathbb{E}[S_{n-1}]$ e per ricorrenza questo è $0$. Ma questo non aiuta poiché noi vogliamo $\mathbb{E}[|S_n|]$.
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Re: Convergenza quasi certa per una serie di Bernoulli

Messaggioda DajeForte » 15/10/2019, 22:38

feddy ha scritto:L'uniforme integrabilità di quest'ultima però ancora non mi viene: dovrei mostrare che $\text{sup}_{n} E[|X_n|] < \infty$

No. Questo significa che la successione è bounded in L1. Questo è più debole della uniforme integrabilità.

Tuttavia, come avete già visto, la martingala è bounded in L2. Questo si che implica che la successione è UI e dunque avete fatto.

Vi segnalo infine che il teorema che avete citato, ha un'altra equivalenza:

esiste X integrabile tale che $X_n=E[X|F_n]$.

Questa variabile X non è detto sia unica. $X=lim_n X_n$ verifica questa proprietà.
Da questo si capisce che il limite non può essere 0, come avevate detto in precedenza.
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Re: Convergenza quasi certa per una serie di Bernoulli

Messaggioda feddy » 15/10/2019, 22:47

Grazie DajeForte, purtroppo stavo provando a svolgere l'esercizio senza avere i prerequisiti necesari ! :) Nel frattempo ho risolto usando la limitatezza in $L^2$, come hai fatto giustamente notare!

Per completezza:
Considerando la martingala $(M_n)_n$ con $M_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{X_k}{k}$ e filtrazione naturale data da $F_n= \sigma (X_1, \ldots, X_n)$ si ha

$E[M_n^2]=\sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} E[X_j X_k]=\sum_{k=1}^{n} E[X_k^2] \frac{1}{k^2} \leq \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}$ dove ho usato il fatto che le $X_i$ sono i.i.d

da cui la limitatezza in $L^2$. Dunque la successione è uniformemente integrabile e dunque esiste $M \in F_{\infty}$ tale che $M_n \rarr M$ a.s. !
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