Stati coerenti

Messaggioda PaoloV » 14/10/2019, 13:09

Buongiorno a tutti. Ho problemi con un esercizio di quantistica sugli stati coerenti. Il testo chiede come cambierebbe l'energia del fondamentale in un oscillatore armonico sottoposto ad un potenziale $V=\lambda \cos(\alpha x )$ usando il formalismo degli stati coerenti.

Peccato che io abbia capito ben poco di questo tipo di stati quantistici. So che hanno una relazione con l'operatore di annichilimento, dato che ne sono autostati, ma da questa considerazione non riesco a ricavare molto. E poi perchè sono autorizzato ad usarli?
Qualcuno è in grado di darmi una mano? :?
PaoloV
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Re: Stati coerenti

Messaggioda PaoloV » 15/10/2019, 11:10

Nessuno è in grado di risolvere questo problema? :? Va bene solo impostare il problema, poi lo risolvo io è che non so proprio come prenderlo :? Mi salvereste la vita, a breve ho il primo compito parziale e questa cosa c'è sicuramente.
PaoloV
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Re: Stati coerenti

Messaggioda Nikikinki » 15/10/2019, 18:52

Non so se continuerò a scrivere sul forum oppure no, ma ricordo quanto terrore possa mettere la mole di dubbi prima di un esame e ti vedo parecchio con l’acqua alla gola e mi spiacerebbe lasciarti affogare, quindi andiamo a capire un po’ questo problema.
Il perché “sei autorizzato a farlo” è scritto nel fatto che l’equazione differenziale dell’oscillatore armonico può essere risolta per via algebrica con gli operatori di creazione e distruzione (o annichilimento come dici tu). Diventa una equazione algebrica e la conclusione potentissima è che ogni cosa che ha quella forma come equazione differenziale, avrà la stessa algebra di questi operatori e questa connessione dà una misura del fatto che “l’oscillatore armonico” sia il prototipo di una quantità incredibile di fenomeni fisici che parrebbero non uniti direttamente, ma lo sono per via dell’algebra intrinseca che condividono.
Comunque

$a|\beta> = \beta |\beta>$

Puoi osservare che l’operatore di creazione non essendo autoaggiunto non impone la realtà dell’autovalore, come invece vogliono tutti gli operatori che normalmente si usano in quantistica, visto che una misura, se ha senso fisico, deve essere reale.
Possiamo sviluppare in serie, ometto un po’ di notazioni (la serie va fino all’infinito e stiamo sommando su n )

$"|"\beta> = \sum c_n "|"n>$

ed usando le proprietà degli operatori in questione (almeno quelle le do per scontato) troviamo

$a"|"\beta> =[ \sum c_n \sqrt(n) "|"n-1> ]= \sum \beta c_n "|"n>$

Nella serie che ho messo tra [] sostituiamo $n \rightarrow n+1$ (rigorosamente dovresti porre $n=s+1$ ,poi riordinare la serie e poi cambiare di nuovo s con n), ed il senso fisico di quello che abbiamo scritto rende comunque nullo il primo termine visto che non ci può essere uno stato di energia inferiore al fondamentale, quindi la morale è che puoi eguagliare gli argomenti delle serie

$ \sum c_(n+1) \sqrt(n+1) "|"n> = \sum \beta c_n "|"n>$

E devono essere uguali anche i coefficienti, quindi trovi una successione per ricorrenza

$c_(n+1)=\beta c_n/(\sqrt(n+1))$ .

Scriviti qualche termine di questa successione e vedrai di poter scrivere

$c_n=c_0 \beta^n/\sqrt(n!)$

Ma allora

$"|"\beta> = c_0\sum\beta^n/\sqrt(n!) "|"n> = c_0\sum \beta^n a^(+^n)/(n!) "|"0>$

La costante rimasta la trovi usando la normalizzazione

$<\beta"|"\beta> = |c_0|^2\sum |\beta|^n/(n!)=|c_0|^2 e^(|\beta|^2)=1 $

Tutto questo per farti toccare con mano la formula che ora possiamo usare per risolvere il tuo problema ovvero

$"|"\beta> = e^(-|\beta|^2/2) \sum \beta^n a^(+^n)/(n!) "|"0> = e^(-|\beta|^2/2) e^(\beta a^+) "|"0> $

Anche se sarà più utile nella forma di prima ma ora abbiamo la costante giusta.

C’è un teorema che si fa all’inizio in genere che si chiama teorema di Hellman-Feynman che ci permette di dire che la variazione dell’energia del livello n-esimo è

$\deltaE_n = <n"|"V"|"n>$

Vattelo a riguardare e verifica per esercizio che le ipotesi permettono di applicarlo al tuo caso.
A noi interessa la variazione sul fondamentale, quindi

$\deltaE_0 = <0"|"V"|"0> = <0"|"\lambda cos(\alpha x)"|"0> = \lambda <0"|"(e^(i\alphax)+e^(-i\alphax))/2"|"0> $

Avendo scritto il coseno in forma esponenziale complessa.
Ora devi scrivere l’operatore di posizione $x$ in termini degli operatori di costruzione e distruzione, quindi

$x=L/\sqrt(2)(a+a^+)$ dove L è dato da $L^2=\barh/(m\omega)$
ed è la lunghezza caratteristica dell’oscillatore armonico.

Basta notare che, rispetto alle relazione trovate prima , $|\beta|=\alphaL/\sqrt(2)$ quindi è tutto risolto infatti , ricordando l’ortonormalità degli autostati,

$\deltaE_0 = \lambda/2 [<0"|"\beta>+<0"|"\beta>] = \lambda e^(-|\beta|^2/2)$

E questo è quanto. Spero di non aver fatto errori nello scrivere, se noti apici/pedici strani o ambigui , cose che non capisci etc fammelo notare.
Nikikinki
 

Re: Stati coerenti

Messaggioda PaoloV » 16/10/2019, 08:16

Mi hai salvato la vita :roll: Anche perchè finalmente ho capito il senso di alcune formule che avevo scritto nel caos dei miei appunti. Avrò bisogno di un po' di tempo per capire bene tutti i passaggi che hai fatto ma il risultato torna con quello ottenuto in classe usando l'equazione di shrodinger quindi mi metto con calma e rivedo tutto. Se avrò domande spero che mi risponderai :roll: . Grazie davvero, gentilissimo.
PaoloV
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Re: Stati coerenti

Messaggioda Nikikinki » 18/10/2019, 08:31

Figurati. Comunque nella normalizzazione ho mancato un quadrato al $|\beta|^n$ , sennò la serie non dà quell'esponenziale.
Nikikinki
 

Re: Stati coerenti

Messaggioda PaoloV » 28/10/2019, 15:15

Torno dopo un po' su questo esercizio. Poi nel compito c'era proprio un problema simile quindi sei stato utilissimo, però il professore mi ha tolto qualche punto perchè non ho giustificato bene alcuni passaggi ed in effetti mi sono accorto di aver preso per buone alcune cose ed alcuni passaggi li ho applicati in modo un po' automatico vedendo quello che hai fatto tu. Quindi visto che all'orale parte dai compiti vorrei chiederti qualche ulteriore chiarimento. Ad esempio, potresti spiegarmi meglio il terzo passaggio? E nell'ultimo perchè non c'è più la serie? :?
PaoloV
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Re: Stati coerenti

Messaggioda PaoloV » 30/10/2019, 09:18

Naturalmente può rispondermi anche qualcun altro, avrei davvero bisogno di questi chiarimenti :?

Comunque qualcuno mi può spiegare come si mandano i messaggi privati? Provo a cliccare sul nome nel messaggio ma non me lo fa selezionare :oops:
PaoloV
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Re: Stati coerenti

Messaggioda Shackle » 30/10/2019, 09:38

Per inviare un mp a un utente, devi andare sul “profilo utente “ . Sotto la riga, a sn , c’è “invia un messaggio privato “ : clicca, e ti si apre un pannello, dove scrivi il titolo e il mp.
Qualche utente, come me, potrebbe aver attivato NO alla ricezione di mp, e allora non compare la scritta di cui sopra.
Per il resto, non conosco la materia e non posso aiutarti. Mi spiace per Nikikinki, era bravo, ma permaloso, e non accettava di buon grado le correzioni.
Ma spesso chi esce sbattendo la porta si iscrive con altro nick.
I can't read that, instead of "Joe washed his hands", mathematicians say " There's a $t_1$ : the image of $t_1$ under the map $t_1\rarrJoe(t_1)$ belongs to the set of dirty hands, and a $t_2 >t_1$ : the image of $t_2$ belongs to the complement of that set" V.I.Arnol'd
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Re: Stati coerenti

Messaggioda PaoloV » 30/10/2019, 09:59

Ho capito ti ringrazio. Quindi non riesco a contattarlo ed il nome lo vedo scritto diverso perchè è andato via dal sito. Sono proprio sfigato :o . Magari aspetterò un po' e chiederò spiegazioni al mio professore, sperando non si ricordi del mio compito e non mi chieda come ho fatto a fare l'esercizio con tutti i dubbi che ho :-D . Grazie comunque a tutti, è davvero un bel sito questo complimenti.
PaoloV
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