Esercizio sulla pdf e calcolo del dominio

Messaggioda MrChopin » 15/10/2019, 15:40

Ora inserisco la traccia del mio esercizio e tratto i primi due punti e poi semmai posto i secondi due in base a se ho fatto bene questi:

Siano $ X $ e $ Y $ due variabili aleatorie caratterizzate dalla seguente pdf congiunta:

$ f_(XY)(x,y)={ ( alpha, AA(x,y)inD ),( 0,ALTRIMENTI ):} $

dove $ alpha $ è una costante reale e $ D={-1<=x<=1; max(-x,0)-1<=y<=min(-x,0)+1 }$

1) Dopo aver disegnato D, determinare il valore di $ alpha $ in modo che $ f_(XY)(x,y) $ sia una valida pdf;

2)Calcolare le pdf $ X $ e $ Y $, rappresentare graficamente e verificare che siano valide;

3)Calcolare il valore di $ P(X+Y>=0) $;

4) Stabilire se $ X $ e $ Y $ sono indipendenti e/o correlate.


Il punto 1) dovrebbe essere questo:
Il dominio dovrebbe essere questo qui salvo errori:

Immagine

Per calcolarmi la mia PDF ho diviso il mio dominio in domini più semplici e poi ho calcolato l'integrale definito in quelle regioni dello spazio e poi li ho sommati così:

Immagine

$ D_(1)={0<=x<=1; -1<=y<=0 }$ Quadrato IV quadrante

$ D_(2)={-1<=x<=0; 0<=y<=-x-1 }$ Triangolo III quadrante

$ D_(3)={-1<=x<=0; 0<=y<=1 }$ Quadrato II quadrante

$ D_(4)={0<=x<=1; 0<=y<=-x+1 }$ Triangolo I quadrante

$ PDF(D_1)=int_(0)^(1) int_(-1)^(0)alpha dxdy=alpha int_(0)^(1)[y]_(-1)^(0)dx=alpha int_(0)^(1) dx=alpha $

$ PDF(D_3)=int_(-1)^(0) int_(0)^(1)alpha dxdy=alpha int_(-1)^(0)[y]_(0)^(1)dx=alpha int_(-1)^(0) dx=alpha $

$ PDF(D_2)=int_(-1)^(0) int_(0)^(-x-1)alpha dxdy=alpha int_(-1)^(0)[y]_(0)^(-x-1)dx=alpha int_(-1)^(0) -x-1 dx= -alpha/2[x^2]_(-1)^(0)-alpha[x]_(-1)^(0)=3/2alpha$

$ PDF(D_4)=int_(0)^(1) int_(0)^(-x+1)alpha dxdy=alpha int_(0)^(1)[y]_(0)^(-x+1)dx=alpha int_(0)^(1) x+1 dx= -alpha/2[x^2]_(0)^(1)+alpha[x]_(0)^(1)=1/2alpha$

$ alpha+alpha+3/2alpha+1/2alpha=4alpharArr alpha=1/4 $

Detto ciò veniamo al problema di prima il punto 2):

Per fare le marginali devo determinare credo il dominio di $X$ e $Y$ e poi calcolarmi gli integrali:

$ D_(X)={-1<=x<=1 }$ quindi è una fascia che va da $-1$ a $1$ e questo dovrebbe essere la pdf marginale:

$f_(X)(x)=int_(-1)^(1) 1/4 dx=1/4 [x]_(-1)^(1)=2 1/4=1/2 $

Salvo imprevisti credo di aver fatto bene ma non mi meraviglio mai della mia ciucciagine ora tocca a $ Y $:

Questo abbiamo era il dominio di $ D={-1<=x<=1; max(-x,0)-1<=y<=min(-x,0)+1 }$

Quindi questo :
Immagine

Il punto era che estremi di integrazione metto per la mia marginale di $f_(Y)(y)$?

Posso mai considerare questi due domini e intersecarli? Se la somma degli integrali è pari all'unione dei domini di dove è definita la funzione la differenza tra integrali è l'intersezione? O sto dicendo una fesseria ENORME?

Immagine

Quindi considerare prima il dominio $ A={1<=y<=-1;}$

$f_(YA)(y)=int_(1)^(-1) 1/4 dy=1/4 [y]_(1)^(-1)=2 1/4=1/2 $

Quindi considerare prima il dominio $ B={-x+1<=y<=-x-1;}$

$f_(YB)(y)=int_(-x+1)^(-x-1) 1/4 dx=1/4 [y]_(-x+1)^(-x-1)=2 1/4=1/2 $

quindi chi sottraggo a chi è indifferente in questo caso?

$f_(Y)(y)=f_(YA)(y)-f_(YB)(y)=1/2 -1/2 =0$

Scusatemi per l'ignoranza, spero di non aver detto troppe fesserie :-D
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Re: Esercizio sulla pdf e calcolo del dominio

Messaggioda tommik » 15/10/2019, 16:10

Un macello :shock: :shock:

E' vero che ti ho detto che puoi inserire il grafico fatto a mano...la miseria hai inserito un cimitero.....non si capisce una mazza (detto in modo molto tecnico)

Il dominio D è quell'esagono che hai disegnato

Immagine


Come vedi, è formato da due quadrati di area 1 e due triangoli di area $1/2$

Quindi l'area del dominio è $3$...ergo la densità uniforme1 è $f_(XY)(x,y)=1/3$ quando $(x,y) in D$ e zero altrove.

Per calcolare le marginali basta integrare la congiunta sull'altra variabile, ovvero

$f_X(x)=int_(-(x+1))^1 1/3dy=(2+x)/3$; $-1<x<=0$

$f_X(x)=int_(-1)^(1-x) 1/3dy=(2-x)/3$; $0<x<=1$

zero altrove.....

In modo più compatto possiamo scrivere così:

$f_X(x)=(2-|x|)/3mathbb{1}_([-1;1])(x)$


Con la stessa tecnica in modo esattamente speculare trovi che la $Y$ si distribuisce con la stessa distribuzione ...le variabili sono dunque identicamente distribuite2. Non sono però indipendenti; per verificarlo basta moltiplicare le due densità marginali e vedere che non viene $1/3$ ma, anche senza fare conti, ci ricordiamo che "Condizione necessaria per l'indipendenza è che il Domino sia rettangolare"....e concludiamo subito che $X$ e $Y$ non sono indipendenti...

Calcolare $mathbb{P}[X+Y>0]$

E' come dire $mathbb{P}[Y> -X]$...identifica la porzione di piano $Y> -X$ nel tuo dominio.... è mezzo dominio....la distribuzione è uniforme....totale....$1/2$

NOTA BENE: per te no, non è consentito inserire i grafici fatti a mano....

PS: Il dominio che avevo disegnato io rispondendo alla tua domanda nell'altro topic era riferito a ciò che avevi scritto là; in particolare non avevi accennato al fatto che $|x|<=1$ ma avevi messo solo come condizione quella sulla Y...non è la stessa cosa....non credi?

Note

  1. basta fare il reciproco dell'area...non servono conti
  2. sono due distribuzioni triangolari troncate, senza le code. Disegnale, calcolane l'area (scegli uno dei due triangoli, ascissa positiva o negativa, calcoli l'area del triangolo maggiore meno quella del triangolo minore e moltiplica il tutto per due) ; $[(2xx2/3)/2-(1xx1/3)/2]xx2=1$

    ...stop! È una valida pdf
Gurdulù ha ingurgitato una pinta d'acqua salata prima di capire che non è il mare che deve stare dentro a lui ma è lui che deve stare nel mare
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Re: Esercizio sulla pdf e calcolo del dominio

Messaggioda MrChopin » 15/10/2019, 17:48

Grazie mille per le spiegazioni ho solo qualche piccolo dubbio scusami se sono stato "diversamente ordinato" :-D

tommik ha scritto:Un macello :shock: :shock:

E' vero che ti ho detto che puoi inserire il grafico fatto a mano...la miseria hai inserito un cimitero.....non si capisce una mazza (detto in modo molto tecnico)

Il dominio D è quell'esagono che hai disegnato

Immagine


Come vedi, è formato da due quadrati di area 1 e due triangoli di area $1/2$

Quindi l'area del dominio è $3$...ergo la densità uniforme1 è $f_(XY)(x,y)=1/3$ quando $(x,y) in D$ e zero altrove.


Ho capito tutto ma se avessi a che fare con area diversa da questa come faccio a calcolarmi l'area analiticamente?

tommik ha scritto:Con la stessa tecnica in modo esattamente speculare trovi che la $Y$ si distribuisce con la stessa distribuzione ...le variabili sono dunque identicamente distribuite sono due distribuzioni triangolari troncate, senza le code. Disegnale, calcolane l'area (scegli uno dei due triangoli, ascissa positiva o negativa, calcoli l'area del triangolo maggiore meno quella del triangolo minore e moltiplica il tutto per due) ; $[(2xx2/3)/2-(1xx1/3)/2]xx2=1$

Qui ho delle difficoltà a capire se ho capito come disegnare questi due triangoli che mi dicevi non voglio fare altri grafici questo è l'ultimo :lol: potresti farmi capire come disegnarli se puoi? Sarebbero dure finestre triangolari? $(2+|x|)/3$ ad esempio questa è una finestra triangolare di ampiezza 2/3 con un espansione di 2 quindi questo? $ 2/3Lambda (x/2) $ troncata tra $-2$ e $-1$ e tra $2$ e $1$
Immagine

tommik ha scritto:Non sono però indipendenti; per verificarlo basta moltiplicare le due densità marginali e vedere che non viene $1/3$ ma, anche senza fare conti, ci ricordiamo che "Condizione necessaria per l'indipendenza è che il Domino sia rettangolare"....e concludiamo subito che $X$ e $Y$ non sono indipendenti...


Quindi devo moltiplicare questa
$f_X(x)=(2-|x|)/3mathbb{1}_([-1;1])(x)$
per la marginale in $y$ se mi trovo che il loro prodotto detto in soldoni è il reciproco dell'area quindi $1/3$ allora sono dipendenti? Ma come faccio a definire che una pdf marginale è valida questa cosa non l'ho capita cioè devo vedere se l'area del dominio è pari ad 1?

Quindi dato che è 3 l'area del dominio la pdf non è valida?

Note

  1. basta fare il reciproco dell'area...non servono conti
Ultima modifica di MrChopin il 16/10/2019, 08:00, modificato 1 volta in totale.
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Re: Esercizio sulla pdf e calcolo del dominio

Messaggioda tommik » 16/10/2019, 05:59

Dalle domande poste si vede che sei molto a digiuno di teoria. Studia, fai esercizi e vedrai che tutto sarà chiaro.

Dimenticavo, il testo chiede anche se le variabili sono non correlate. Dato che indipendenza implica non correlazione ma non necessariamente viceversa, per verificare l'eventuale non correlazione occorre calcolare la covarianza.
La definizione dovresti saperla...posta i calcoli.
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Re: Esercizio sulla pdf e calcolo del dominio

Messaggioda MrChopin » 16/10/2019, 07:55

tommik ha scritto:Dalle domande poste si vede che sei molto a digiuno di teoria. Studia, fai esercizi e vedrai che tutto sarà chiaro.

Dimenticavo, il testo chiede anche se le variabili sono non correlate. Dato che indipendenza implica non correlazione ma non necessariamente viceversa, per verificare l'eventuale non correlazione occorre calcolare la covarianza.
La definizione dovresti saperla...posta i calcoli.

Si si hai perfettamente ragione ho letto la teoria ma sicuramente devo ripeterla per fissare meglio e chiarire e filtrare le idee che ho. Mica se puoi ,puoi rispondere alle mie domande? Giusto per capire cosa devo ripetere meglio e se ci sono proprio cose che ho letto ho pensato di capire e invece non ho capito affatto?
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Re: Esercizio sulla pdf e calcolo del dominio

Messaggioda tommik » 16/10/2019, 08:21

MrChopin ha scritto:1) Ho capito tutto ma se avessi a che fare con area diversa da questa come faccio a calcolarmi l'area analiticamente?

2) Qui ho delle difficoltà a capire se ho capito come disegnare questi due triangoli

3) Ma come faccio a definire che una pdf marginale è valida questa cosa non l'ho capita cioè devo vedere se l'area del dominio è pari ad 1?

4) Quindi devo moltiplicare questa
$f_X(x)=(2-|x|)/3mathbb{1}_([-1;1])(x)$
per la marginale in $y$ se mi trovo che il loro prodotto detto in soldoni è il reciproco dell'area quindi $1/3$ allora sono dipendenti?



1) Per calcolare un'area diversa da quella dell'esempio, con curve ecc ecc si usano gli integrali.

In generale, devi controllare che valgano entrambe le seguenti condizioni

i) $f_(XY)(x,y)>=0$, $AAx,y$

ii) $int_(-oo)^(+oo)int_(-oo)^(+oo) f_(XY)(x,y) dxdy=1$

...ma devi fare i conti giusti.

In questo caso, dato che la variabile è uniforme, ho adottato una procedura più semplificata.

2) e 3) devi disegnare il grafico della densità marginale trovata (ed è quello che hai fatto) e controllare che l'area sottesa al dominio sia 1. Io ho preso l'area dei due triangoli di destra, ne ho fatto la sottrazione e moltiplicato per due.

Immagine

L'area viola è l'area del triangolo $C 0 B$ meno l'area del triangolino $D A B$

Puoi anche calcolarti l'area sottesa alla densità (l'area di un pentagono) come credi più opportuno, ad esempio l'area del rettangolo più il triangolo che ci sta sopra: $2xx1/3+(2xx1/3)/2=1$ oppure, in generale $int_(-oo)^(+oo) f_X(x)dx=1$

Se la $f(x)>=0$ $AAx$ e l'integrale su tutto il dominio fa uno allora è una valida pdf.

4) Esattamente il contrario. Per verificare l'indipendenza occorre, in generale, verificare che $f_(XY)(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ oppure, come in questo caso, verificare che la condizione necessaria non è verificata e concludere per la non indipendenza.
Dato che la dipendenza fra variabili non implica necessariamente "dipendenza lineare" potrebbe anche darsi che, pur con variabili dipendenti, la covarianza risulti zero. Nel qual caso le variabili, pur essendo non indipendenti sono anche non correlate. Per verificare tale eventualità occorre necessariamente calcolare la $Cov(X,Y)$ che si fa agilmente sfruttando la definizioine.



saluti
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