Ingresso clienti e orario #2

[mobley]

Ho ricontrollato il testo ed è lo stesso che ho già scritto nell'altro post.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Se ci fosse bisogno allego la foto del testo.

Supponiamo che $10^6$ persone giungano in una stazione di servizio in istanti indipendenti che si distribuiscono in maniera uniforme sull'intervallo $(0,10^6)$. Denotiamo con $N$ il numero aleatorio di persone che arrivano nella prima ora. Si approssimi la $\mathbb(P)(N=i)$.

La soluzione è $(e^(-1))/(i!)$.
Dato $X=10^6$ il totale di persone che giungono in stazione, ed essendo $N=i$ il numero di persone che entrano nella 1° ora indipendente da $Y=j$ il numero di persone che entrano nelle ore successive, scrivo

$\mathbb(P)(N=i,Y=j)=\mathbb(P)(N=i,X-N=j)=\mathbb(P)(N=i,X=i+j)=\mathbb(P)(X=i+j)\mathbb(P)(N=i|X=i+j)=\mathbb(P)(X=i+j)\mathbb(P)(N=i)$

$=1/(10^6)\mathbb(1)_{(0,10^6)}(x)xx ( (10^6), (i) ) p^i(1-p)^(10^6-i)$

Ma la Poisson è approssimazione di una Binomiale, quindi per $\lambda:=np=10^6p$ scrivo

$=1/(10^6)\mathbb(1)_{(0,10^6)}(x)xx (e^(-10^6p)(10^6p)^i)/(i!)$

Qui mi blocco con i calcoli e non so come andare avanti

[tommik]

il testo sarà anche giusto ma impreciso....occorre specificare che $(0;10^6)$ sono LE ORE (e non mi riferisco al noto giornalino per maggiorenni che si leggeva quando si andava dal parrucchiere)

A questo punto si può dire che, mediamente, ogni ora arriva un cliente.....è quindi possibile approssimare la probabilità che i clienti arrivati nella prima ora seguano una distribuzione di poisson di parametro 1 (legge degli eventi rari) ovvero

$mathbb{P}[N=k]=(e^(-1)1^k)/(k !)=e^(-1)/(k!)$; $k=0,1,2,....$

Se ad esempio $(0;10^6)$ fosse un intervallo temporale espresso in minuti (o in secondi) la soluzione necessariamente cambierebbe.....sei d'accordo o no?

fine.

[mobley]

E la distribuzione uniforme delle $10^6$ persone che fine ha fatto? Come sei arrivato a usare direttamente la definizione di poisson?

[tommik]

Il testo ti dice che arrivano 10 milioni di persone in un lasso temporale di 10 milioni di ore...che sono circa 1.142 anni. Il fatto che il loro arrivo sia uniforme significa che non vi sono picchi negli arrivi...e quindi se devo stimare quante persone arrivano nella prima ora ... o nell'ennesima...quante saranno¹? $1,2,3...$ mica possono essere un milione....quindi (è una stima) posso tranquillamente usare la "legge degli eventi rari" cioè una poisson....non mi pare un ragionamento astruso....certo io avrei messo almeno l'intervallo in minuti, così da usare una poisson di media 60....ma tanto l'esercizio è scritto con i piedi....

PS: quando hai un esercizio e hai anche la soluzione...se la postassi eviteresti perdite di tempo a chi si accinge a risolvere (risolvere e controllare un risultato è più veloce di risolvere e ricontrollare la soluzione)

Sulla stessa falsariga ma più interessante puoi guardare Questo

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Note

1. $mathbb{P}[N<=3]>98%$ ↑

[mobley]

Se ad esempio $(0;10^6)$ fosse un intervallo temporale espresso in minuti (o in secondi) la soluzione necessariamente cambierebbe.....sei d'accordo o no?

Beh, a rigor di logica sì ma non capisco come cambierebbe formalmente il valore di $\lambda$. Cioè, io so che $\lambda$ descrive il tasso della distribuzione (quindi il numero medio di eventi che si verificano in un certo intervallo di tempo). Se arrivano $10^6$ persone in un intervallo di $10^6$ ore è intuitivo che ne arrivino una l'ora, ma se l'intervallo fosse stato definito in minuti… cosa intendi quando dici:

certo io avrei messo almeno l'intervallo in minuti, così da usare una poisson di media 60

[tommik]

intendo dire che se l'intervallo fosse espresso in minuti significherebbe che ci aspettiamo l'arrivo di una persona ogni minuto e quindi 60 persone ogni ora....quindi userei una $Po(60)$ o no??

E quindi se di fianco all'intervallo non ci scrivi che mincXXa di unità di misura temporale vuoi come fa uno a sapere che deve usare la $Po(1)$ per stimare la probabilità dei clienti che arrivano in un'ora?????

Io ho guardato la soluzione ed ho dedotto che intendesse un intervallo temporale espresso in ore....

[mobley]

intendo dire che se l'intervallo fosse espresso in minuti significherebbe che ci aspettiamo l'arrivo di una persona ogni minuto e quindi 60 persone ogni ora....quindi userei una $Po(60)$ o no??

E quindi se di fianco all'intervallo non ci scrivi che mincXXa di unità di misura temporale vuoi come fa uno a sapere che deve usare la $Po(1)$ per stimare la probabilità dei clienti che arrivano in un'ora?????

Io ho guardato la soluzione ed ho dedotto che intendesse un intervallo temporale espresso in ore....

Quindi assumendo che l'intervallo temporale sia espresso in minuti, quale sarebbe dovuto essere il testo corretto dell'esercizio? O meglio, quale dovrebbe essere un esercizio "standard" di questo tipo? Te lo chiedo perchè in questo modo riuscirei subito a riconoscere qual'è il valore di $\lambda$ da applicare alla definizione

EDIT: intendo dire… per poter calcolare il valore di $\lambda$ devo sempre rapportare il numero di clienti, di chiamate al call center etc. all'intervallo temporale così da ottenere il numero medio orario di clienti, chiamate etc. E una volta trovata la media oraria la converto in minuti, secondi etc. no?

[mobley]

Ho editato il post. Scusa tommik, forse mi sono spiegato male