da Bokonon » 16/10/2019, 16:18
Il libro non può aver suggerito una disuguaglianza.
Probabilmente intendevi scrivere $ alpha + beta= 2((alpha+beta)/2)$
Quindi $ sin(alpha + beta)=sin(2((alpha+beta)/2))$
e sai che $sin(2gamma)=2sin(gamma)cos(gamma)$ dove $gamma=(alpha+beta)/2$
Quindi basta sostituire si ottiene $ sin(alpha + beta)=2sin((alpha+beta)/2)cos((alpha+beta)/2)$
Sempre lavorando sul primo membro dell'identità e usando le formule di postraferesi:
$sin(alpha)+sin(beta)=2sin((alpha+beta)/2)cos((alpha-beta)/2)$
Quindi, raccogliendo a fattori comuni, il primo membro si può scrivere come:
$2sin((alpha+beta)/2)[cos(alpha/2+beta/2)+cos(alpha/2-beta/2)]$
Ora basta applicare le formule di addizione e sottrazione:
$2sin((alpha+beta)/2)[cos(alpha/2)cos(beta/2)-sin(alpha/2)sin(beta/2)+cos(alpha/2)cos(beta/2)+sin(alpha/2)sin(beta/2)]=$
$=2sin((alpha+beta)/2)[2cos(alpha/2)cos(beta/2)]=4cos(alpha/2)cos(beta/2)sin((alpha+beta)/2)$