Formula integrale di Schwarz

[dissonance]

Vabbé, fino adesso abbiamo fatto solo chiacchiere.

@3m0o: Venendo alla vera domanda, il tuo procedimento deve essere corretto. Come hai dimostrato il punto 2? Sarà mica che c'è un errore nella traccia? Basta un segno sbagliato e il punto 3 se ne va gambe all'aria.

[3m0o]

Vabbé, fino adesso abbiamo fatto solo chiacchiere.

@3m0o: Venendo alla vera domanda, il tuo procedimento deve essere corretto. Come hai dimostrato il punto 2? Sarà mica che c'è un errore nella traccia? Basta un segno sbagliato e il punto 3 se ne va gambe all'aria.

Il punto due l'ho dimostrato così:

Per il punto (2) abbiamo che se definiamo per ogni \( z \in D(0,1) \), \( g_z(\xi):= f(\xi)\frac{1+\xi \overline{z}}{1-\xi \overline{z}} \), notiamo che \( g(0)=f(0) \), abbiamo inoltre che se \( f \) analitica in \( D(0,1+\epsilon) \) anche \( g_z \) analitica in \( D(0,1) \), \( \forall z \in D(0,1) \), allora per il punto (1) risulta che
\[ f(0)=g_z(0)=\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} g_z(e^{it})dt =\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(e^{it})\frac{1+e^{it} \overline{z}}{1-e^{it} \overline{z}}dt \]

Okay ho capito, c'è solo un errore nel ragionamento, non nel procedimento, ricapitolando

\[ f(z) = f(z) - f(0) + f(0) = f(z) - f(0) + \Re(f(0)) + i \Im(f(0))= f(z) +\frac{1}{2}(\overline{ f(0)} - f(0) ) + i \Im(f(0)) \]
Voglio dimostrare che
\[ f(z) +\frac{1}{2}(\overline{ f(0)} - f(0) ) = \frac{1}{2\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{it}+z}{e^{it}-z}\Re( f(e^{it})) dt \]
Uso il punto (1) e il punto (2) nel seguente modo
\[ = \frac{1}{2\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{it}}{e^{it}- z} f(e^{it})dt + \overline{\frac{1}{4\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{1+e^{it}\overline{z}}{1-e^{it}\overline{z}} f(e^{it}) dt} - \frac{1}{4\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{1+e^{it}\overline{z}}{1-e^{it}\overline{z}} f(e^{it}) dt \]
\[ = \frac{1}{4\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{2e^{it}}{e^{it}- z} f(e^{it})dt + \frac{1}{4\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{1+e^{-it}z}{1-e^{-it}z} \overline{f(e^{it})} dt - \frac{1}{4\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{1+e^{it}\overline{z}}{1-e^{it}\overline{z}} f(e^{it}) dt \]
\[ = \frac{1}{4\pi } \int_{0}^{2\pi}\left( \frac{2e^{it}}{e^{it}- z} - \frac{1+e^{it}\overline{z}}{1-e^{it}\overline{z}} \right) f(e^{it})dt + \frac{1}{4\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{it}+z}{e^{it}-z} \overline{f(e^{it})} dt = \bigstar \]
Ora non è vero che devo necessariamente ottenere questo quanto segue (come sostenevo prima)
\[ \frac{2e^{it}}{e^{it}- z} - \frac{1+e^{it}\overline{z}}{1-e^{it}\overline{z}} = \frac{e^{it}+z}{e^{it}-z} \]
L'uguaglianza sopra è condizione sufficiente ma non necessaria. Infatti abbiamo che
\[ \frac{2e^{it}}{e^{it}- z} = \frac{e^{it}+z}{e^{it}-z}+1 \]
E quindi
\[ \frac{2e^{it}}{e^{it}- z} - \frac{1+e^{it}\overline{z}}{1-e^{it}\overline{z}} = \frac{e^{it}+z}{e^{it}-z}+1 - \frac{1+e^{it}\overline{z}}{1-e^{it}\overline{z}} \]
Pertanto
\[ \frac{2e^{it}}{e^{it}- z} - \frac{1+e^{it}\overline{z}}{1-e^{it}\overline{z}} = \frac{e^{it}+z}{e^{it}-z}+ \frac{1-e^{it}\overline{z}-1-e^{it}\overline{z}}{1-e^{it}\overline{z}} \]
Dunque
\[ \bigstar= \frac{1}{4\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{-2e^{it}\overline{z}}{1-e^{it}\overline{z}} f(e^{it})dt + \frac{1}{4\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{it}+z}{e^{it}-z} f(e^{it}) dt+ \frac{1}{4\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{it}+z}{e^{it}-z} \overline{f(e^{it})} dt \]
Ora sappiamo per ipotesi che \( f \) olomorfa e che \(g(\omega)= \frac{1}{1-\omega \overline{z}} \) è olomorfa su \( D(0,1) \) poiché non possiede punti di singolarità. Pertanto \( \frac{-2e^{it}\overline{z}}{1-e^{it}\overline{z}} f(e^{it}) \) olomorfa e dunque
\[ \frac{1}{4\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{-2e^{it}\overline{z}}{1-e^{it}\overline{z}} f(e^{it})dt =0\]
Pertanto abbiamo che
\[\bigstar= \frac{1}{4\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{it}+z}{e^{it}-z} f(e^{it}) dt+ \frac{1}{4\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{it}+z}{e^{it}-z} \overline{f(e^{it})} dt = \frac{1}{2\pi } \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{it}+z}{e^{it}-z}\Re( f(e^{it})) dt\]
Che dimostra la formula integrale di Schwarz!

[dissonance]

Benissimo! Solo un minuscolo appunto.

Pertanto \( \frac{-2e^{it} \overline z}{1-e^{it} \overline z} f(e^{it})\) è olomorfa...

Ci sono due variabili, una reale (\(t\)) e una complessa (\(z\)). Se scrivi così, io capisco che la funzione è olomorfa in \(z\). Ma non è quello che tu vuoi dire. Comunque, è chiaro che la funzione olomorfa è
\[
w\mapsto \frac{-2\overline z}{1-w\overline{z}} f(w).\]

[3m0o]

Benissimo! Solo un minuscolo appunto.

Pertanto \( \frac{-2e^{it} \overline z}{1-e^{it} \overline z} f(e^{it})\) è olomorfa...

Ci sono due variabili, una reale (\(t\)) e una complessa (\(z\)). Se scrivi così, io capisco che la funzione è olomorfa in \(z\). Ma non è quello che tu vuoi dire. Comunque, è chiaro che la funzione olomorfa è
\[
w\mapsto \frac{-2\overline z}{1-w\overline{z}} f(w).\]

Grazie per l'appunto di scrittura, pensavo che scrivendo \( g(\omega)=\frac{1}{1-\omega \overline{z}} \) è olomorfa su \( D(0,1) \) facesse capire che intendevo rispetto ad \( e^{it} \) e non rispetto a \(z \). Io comunque interpreto \( z \) non come variabile ma come un valore fissato scelto arbitrariamente dentro \( D(0,1) \), quindi non ha senso dire che è olomorfa rispetto a \( z \).