Irrazionalità dei numeri naturali.... fino a 17 (perchè?)

Messaggioda otta96 » 13/10/2019, 17:40

Premessa: ciao, volevo provare a tirare un po' su questa sezione (tempo fa ne avevamo parlato) soprattutto dal punto di vista della storia della matematica, ma dato che non c'è gente che segue corsi di storia della matematica e che poi deve dare l'esame, ritengo che non si possa reggere solamente sulle domande che ci sono, perché sono troppo rare (anche se ultimamente sono un pochino di più).
Quello che allora propongo di fare, a chi ci tiene alla storia della matematica sul forum, è di scrivere ogni tanto qualche post in cui si spiega qualche piccola cosa di storia della matematica (non necessariamente profonda o difficile, anche leggera o addirittura un aneddoto carino) in modo da farlo sapere agli altri, sperando che magari a loro volta vorranno scrivere qualcosa innescando un circolo virtuoso.
Una cosa che volevo aggiungere è che sarebbe meglio esibire delle fonti su quello che si dice, ma non lo ritengo indispensabile, nel senso che se qualcuno vuole scrivere di qualcosa che ha sentito/letto tempo fa non si faccia bloccare dal fatto che non saprebbe fornire delle prove di quello che sta dicendo.
Per non rimanere nell'astratto faccio un esempio (suggerisco di non interrompere la lettura aprendo i link, tranne gli ultimi due, dato che li ho messi più che altro come approfondimento da fare eventualmente dopo aver letto tutto).
Pressoché tutti su questo forum siamo a conoscenza di una dimostrazione del fatto che $sqrt2$ è irrazionale e sappiamo che questa risale all'antichità (immagino quella dimostrazione fosse più o meno una traduzione in termini geometrici di quella che viene fatta al giorno d'oggi), di preciso viene sempre attribuita a Pitagora (o per lo meno alla scuola pitagorica) e poi c'è la storiella che Ippaso di Metaponto lo ha divulgato al di fuori della scuola, che a sua volta lo ha rinnegato/messo a tacere a seconda delle versioni perché questo minava le basi filosofiche della dottrina pitagorica.
Ma non è di questo che voglio parlare, perché una volta metabolizzato che $sqrt2$ è irrazionale viene abbastanza spontaneo chiedersi se anche $sqrt3, sqrt4, sqrt5, ...$ siano irrazionali pure loro. Ovviamente chiunque nota subito che la radice del quadrato di un numero naturale sia banalmente razionale.
Il fatto è che anche gli antichi greci si erano fatti questa domanda e di chi abbia trovato una risposta ce ne parla nientemeno che Platone nel suo dialogo "Teeteto".
Nel Teeteto ci sono tre personaggi che instaurano un dialogo: Socrate, Teodoro di Cirene e Teeteto (per farsi un'idea siamo circa un secolo e mezzo/due dopo le vicende di Ippaso): Teodoro presenta a Socrate il suo giovane e promettente allievo Teeteto e si mettono a parlare (vabbè ora vado al succo perché queste cose potete leggerle anche su Wikipedia).
Insomma ad un certo punto salta fuori che Teodoro ha dimostrato l'irrazionalità delle radici dei numeri da $3$ a $17$, con l'ovvia eccezione di $4$, $9$ e $16$ ($sqrt2$ è stato escluso molto probabilmente perché era già noto).
Ma come ha fatto? Innanzitutto bisognerebbe chiedersi prima come Teodoro intendesse questi numeri, nel senso che per quei tempi un numero $x\inRR_+$ (permettetemi di esprimermi in questo modo per facilitare la comprensione, ma è chiaro che loro non si esprimevano in questi termini) era considerato "esistente" se dato un segmento (che viene considerato come unità di misura) si riusciva a costruire con riga e compasso un segmento lungo $x$ volte l'altro.
E già qui ha avuto un'idea interessante: si è accorto che per il teorema di Pitagora dato un segmento se si considera un segmento della stessa lunghezza ortogonale a quello dato tale che questi due segmenti hanno un estremo in comune, il segmento che ha per estremi gli altri due estremi ha lunghezza $sqrt2$ (cioè, questa era la parte già nota prima di lui) e questo procedimento si può ripetere considerando un segmento ortogonale all'ipotenusa che ha con essa un estremo in comune e ha lunghezza come quello originale. Considerando il segmento che ha per estremi i due estremi liberi ha lunghezza $sqrt3$ perché ipotenusa di un triangolo rettangolo di cateti di lunghezza $sqrt2$ e $1$. Si capisce come questo procedimento si possa continuare, ad esempio è spiegato qui (si capisce meglio perché c'è la figura).
Purtroppo non ci è noto quale sia di preciso la tecnica che ha usato nella dimostrazione, ma a questo punto vi sarete già chiesti come mai si ferma proprio a $17$, che è un numero che non ha nessuna particolarità.
Il motivo principale per cui sto scrivendo questo post è che volevo far conoscere ad altre persone proprio la risposta a questa domanda, che a me è sembrata alquanto bizzarra :D
Ora, non è che sia proprio certo ma l'ipotesi più accreditata è che se si esegue esplicitamente su un foglio la costruzione delle radici prima descritte facendole sempre nello stesso verso, fino a quando si fa $sqrt17$ non si è ancora finito il giro, mentre cercando di disegnare $sqrt18$ ci si trova a dover disegnare sopra al triangolino di partenza (quello che ha come ipotenusa $sqrt2$ per capirci), come si può vedere bene qui e qui. Semplicemente per questo motivo Teodoro si è fermato :-D
Meno male che il suo allievo Teeteto non si fermava così facilmente, infatti è attribuita a lui la dimostrazione completa del fatto che le radici dei naturali che non siano quadrati perfetti sono irrazionali.
Per finire segnalo che Teodoro faceva bene a considerare il suo allievo Teeteto promettente, sia per quanto già detto che anche per i suoi studi sui poliedri regolari. Infatti è attribuita a lui anche la dimostrazione che ci sono esattamente $5$ poliedri regolari (è il primo teorema di classificazione della storia, mica poco! :shock: ), lo stesso che circa duemila anni dopo Eulero dimostrerà con altre tecniche introducendo la caratteristica di Eulero(-Poincare).
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Re: Irrazionalità dei numeri naturali.... fino a 17 (perchè?)

Messaggioda gabriella127 » 13/10/2019, 21:48

otta96 ha scritto:Premessa: ciao, volevo provare a tirare un po' su questa sezione (tempo fa ne avevamo parlato) soprattutto dal punto di vista della storia della matematica.
Quello che allora propongo di fare, a chi ci tiene alla storia della matematica sul forum, è di scrivere ogni tanto qualche post in cui si spiega qualche piccola cosa di storia della matematica (non necessariamente profonda o difficile, anche leggera o addirittura un aneddoto carino) in modo da farlo sapere agli altri, sperando che magari a loro volta vorranno scrivere qualcosa innescando un circolo virtuoso.


Ciao Otta, mi fa molto piacere il tuo intervento e la tua collaborazione nel cercare di potenziare la sezione dal lato storia.
Ho letto con molto interesse il tuo post, e vorrei fare una o due domande, ma ora sono un po' cotta e ho bisogno di rileggerlo con calma per non dire troppe fesserie :)
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Re: Irrazionalità dei numeri naturali.... fino a 17 (perchè?)

Messaggioda otta96 » 13/10/2019, 22:37

gabriella127 ha scritto:Ciao Otta, mi fa molto piacere il tuo intervento e la tua collaborazione nel cercare di potenziare la sezione dal lato storia.

:smt023

Ho letto con molto interesse il tuo post, e vorrei fare una o due domande

Spero solo di saper rispondere :P
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Re: Irrazionalità dei numeri naturali.... fino a 17 (perchè?)

Messaggioda gabriella127 » 17/10/2019, 18:23

otta96 ha scritto: Ad un certo punto salta fuori che Teodoro ha dimostrato l'irrazionalità delle radici dei numeri da $3$ a $17$, con l'ovvia eccezione di $4$, $9$ e $16$ ($sqrt2$ è stato escluso molto probabilmente perché era già noto).
Ma come ha fatto?
[...]
Purtroppo non ci è noto quale sia di preciso la tecnica che ha usato nella dimostrazione, ma a questo punto vi sarete già chiesti come mai si ferma proprio a $17$, che è un numero che non ha nessuna particolarità.
Il motivo principale per cui sto scrivendo questo post è che volevo far conoscere ad altre persone proprio la risposta a questa domanda, che a me è sembrata alquanto bizzarra :D
Ora, non è che sia proprio certo ma l'ipotesi più accreditata è che se si esegue esplicitamente su un foglio la costruzione delle radici prima descritte facendole sempre nello stesso verso, fino a quando si fa $sqrt17$ non si è ancora finito il giro, mentre cercando di disegnare $sqrt18$ ci si trova a dover disegnare sopra al triangolino di partenza [...]

Meno male che il suo allievo Teeteto non si fermava così facilmente, infatti è attribuita a lui la dimostrazione completa del fatto che le radici dei naturali che non siano quadrati perfetti sono irrazionali.


Dunque, ho riletto il post di otta96. Non conoscevo la spirale di Teodoro, e la trovo molto carina. Ora, si tratta di un metodo per costruire un segmento che è lungo quanto la radice quadrata di tutti gli interi.

Non si sa quale metodo Teodoro abbia usato per dimostrare l'irrazionalità delle radici dei naturali da $3$ a $17$. Ma una cosa non ho capito: c'è un nesso tra una eventuale dimostrazione e la spirale, o sono due cose separate?

E si sa qualcosa della dimostrazione che avrebbe fatto Teeteto?

Per quanto riguarda il motivo più accreditato del perché Teodoro si sia fermato a 17 ( con il $18$ il segmento si sovrappone agli altri) non sembra così bizzarro se si intende che non abbia continuato la figura oltre il 17: semplicemente perché si impapocchiava e veniva brutta e confusa. Forse si intende questo, che non ha continuato la figura.
Mi pare molto strano, a intuito, che sia questo il motivo per cui si sia fermato a $17$ nella dimostrazione, mi sembrerebbe un motivo da deficiente, e non credo che lo fosse.
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Re: Irrazionalità dei numeri naturali.... fino a 17 (perchè?)

Messaggioda Bokonon » 17/10/2019, 19:28

Non voglio buttarla in vacca ma sono assai realista nelle cose.
Altre opzioni verosimili:
a) si era rotto le balotas
b) ha iniziato a frequentare una tipa

Intendo dire che certe domande, magari interessanti, hanno spesso e verosimilmente una risposta deludente.
E' analogo al chiedersi perchè coloro che hanno stimato il $pi$ a più riprese nel passato si siano fermati dopo un tot decimale.
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Re: Irrazionalità dei numeri naturali.... fino a 17 (perchè?)

Messaggioda gabriella127 » 17/10/2019, 21:19

Ma certo Bokonon, hai ragione a dire che il motivo può essere qualsiasi e banale, tipo Teodoro si è fidanzato con una cubista e ha deciso di diventare disk jokey. Però qui parliamo di storia e la storia si fa (gli storici la fanno) con le fonti.
Se c'è, che so, Plutarco che dice che Teodoro è andato a lavorare in discoteca, ok, ma non c'è. Ci saranno delle fonti, per quanto incerte, che invece diranno che il motivo per cui si è fermato a $17$ è perché il $18$ gli andava sopra alla figura.
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Re: Irrazionalità dei numeri naturali.... fino a 17 (perchè?)

Messaggioda otta96 » 27/10/2019, 17:55

Scusami se rispondo con tutto questo ritardo, ma meglio tardi che mai :oops:
gabriella127 ha scritto:c'è un nesso tra una eventuale dimostrazione e la spirale, o sono due cose separate?

È ipotizzabile che la dimostrazione l'abbia basata sul disegno della spirale, secondo me.

E si sa qualcosa della dimostrazione che avrebbe fatto Teeteto?

Non ne ho idea (penso di no).

Mi pare molto strano, a intuito, che sia questo il motivo per cui si sia fermato a $17$ nella dimostrazione, mi sembrerebbe un motivo da deficiente, e non credo che lo fosse.

Purtroppo i dettagli tecnici delle discussioni su questo argomenti degli storici della scienza (fonti, ipotesi tirate fuori ecc...) non li conosco per nulla, però ad esempio nel link che avevo messo già nel primo messaggio c'è scritto:
Sembra che Teodoro si servì di questa costruzione per illustrare la sua dimostrazione che sono irrazionali le radici quadrate degli interi da 3 a 17 che non siano quadrati (l’irrazionalità della radice quadrata di 2 era già nota).
Alcuni storici avanzano addirittura l’ipotesi che si sia fermato a 17, perché andando oltre i triangoli della spirale avrebbero iniziato a sovrapporsi, come appare nella figura. Non si vede del resto altro motivo plausibile per arrestarsi immediatamente dopo un quadrato, con un numero che allora non rivestiva alcun significato particolare.

Più di così purtroppo non so dirti, mi dispiace :(

Bokonon ha scritto:E' analogo al chiedersi perchè coloro che hanno stimato il $ pi $ a più riprese nel passato si siano fermati dopo un tot decimale.

Direi di no, in questo caso dopo un po' avrebbe dovuto capire che c'era qualcosa in comune a tutte la dimostrazioni che faceva e esplicitarlo ottenendo una dimostrazione per tutti i casi, non penso abbia dimostrato che (ad esempio) $sqrt5$ e $sqrt12$ sono irrazionali in modo profondamente diverso. Mentre per chi era impegnato a cercare le cifre di $pi$ il compito di generalizzare trovando una formula per l'$n$-esima cifra decimale è ben più complicato. Comunque a proposito di questo argomento, volevo scrivere anche un post simile a questo anche su questo argomento (non su tutta la storia perché è molto lunga ma solo sul contributo dato da Archimede a questa ricerca).
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Re: Irrazionalità dei numeri naturali.... fino a 17 (perchè?)

Messaggioda gabriella127 » 27/10/2019, 22:02

Grazie otta, le cose degli storici sono complicatissime per tutto il casino delle fonti, è che sono topi di biblioteca.
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