Esercizio disequazione logaritmica basi diverse e fratte

Messaggioda giamar » 18/10/2019, 10:54

Ciao,
mi ritrovo da qualche giorno a "lottare" con il seguente esercizio:

\(\displaystyle log _{3/4} (4x-3) log _{1/3} (x) > 0\)

dunque:

innanzitutto noto che le basi dei logaritmi sono < 1 quindi:

\(\displaystyle (1<a<0)> 0\)

metto a sistema le condizioni

\(\displaystyle (4x-3)> 0\)

\(\displaystyle (x)> 0\)

dalle quali \(\displaystyle (x)> 3/4\)


ora, all'interno della disequazione non trovo lo spunto per trovare una base comune (utilizzando la proprietà del cambio di base). Sarà banale ma non sono riuscito ancora a venirne a capo.
Grazie anticipatamente
giamar
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Re: Esercizio disequazione logaritmica basi diverse e fratte

Messaggioda axpgn » 18/10/2019, 11:15

Non ti serve "lottare" con le basi se quanto hai scritto è corretto; hai un prodotto, studia il segno dei singoli fattori.
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Re: Esercizio disequazione logaritmica basi diverse e fratte

Messaggioda giamar » 18/10/2019, 12:31

axpgn ha scritto:Non ti serve "lottare" con le basi se quanto hai scritto è corretto; hai un prodotto, studia il segno dei singoli fattori.


Intendi il segno dei 2 logaritmi?
giamar
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Re: Esercizio disequazione logaritmica basi diverse e fratte

Messaggioda axpgn » 18/10/2019, 12:33

Quali sono i fattori in quel prodotto? I logaritmi, no?
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Re: Esercizio disequazione logaritmica basi diverse e fratte

Messaggioda giamar » 18/10/2019, 14:20

Alla luce di quanto spiegato da axpgn (che ringrazio) proseguo l'esercizio, dovesse servire a qualcuno per future googlate :)

La disequazione \(\displaystyle log _{3/4} (4x-3) log _{1/3} (x) > 0 \) è soddisfatta quando:

1 ) se \(\displaystyle log _{3/4} (4x-3) >0 \) e \(\displaystyle log _{1/3} (x) > 0 \)

per quanto riguarda il primo logaritmo il sistema è così composto:

1. \(\displaystyle (4x-3) < 1 \)
2. \(\displaystyle (4x-3) >0 \)

La prima soluzione dell'esercizio è \(\displaystyle (3/4<x< 1) \)

2) se \(\displaystyle log _{3/4} (4x-3) <0 \) e \(\displaystyle log _{1/3} (x) <0 \)

quindi

1. \(\displaystyle (4x-3) > 1 \)
2. \(\displaystyle (x > 1) \)

La seconda soluzione dell'esercizio è \(\displaystyle (x > 1) \)

Spero di aver spiegato in maniera decente lo svolgimento, se qualcuno più ferrato di me vuole aggiungere qualcosa è ben accetto.
Grazie ancora!
giamar
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Re: Esercizio disequazione logaritmica basi diverse e fratte

Messaggioda @melia » 18/10/2019, 17:40

Manca la parte finale, devi unire le soluzioni, quindi o scrivi:
$3/4<x<1 vv x>1$ oppure $ x>3/4 ^^ x!=1$
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Re: Esercizio disequazione logaritmica basi diverse e fratte

Messaggioda giamar » 04/11/2019, 13:47

Ah giusto, nella fretta ho dimenticato di riportare l'unione delle 2 soluzioni. Grazie ancora!


Ultimo bump di giamar effettuato il 04/11/2019, 13:47.
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