Determinazione log su semplicemente connesso

Messaggioda 3m0o » 15/10/2019, 18:10

Non ho capito alcune cose di una dimostrazione della seguente proposizione
Sia \( U \) un aperto semplicemente connesso che non contiene zero, con \( a \in U \). Allora \( L: U \to \mathbb{C} \)
\[ L(z) = \omega + \int_{a}^{z} \frac{1}{\xi} d\xi \]
definisce una determinazione del logaritmo nel senso che \( \exp(L(z))=z \), per tutti i \( z \in U \), se \( e^{\omega} =a \).

Dimostrazione:
Siccome \( U \) è semplicemente connesso la funzione \( L \) è ben definita.
Abbiamo inoltre che \( L(\exp(\omega))=\omega \) per costruzione e in un intorno di \( \omega \) abbiamo \[ (L(\exp(z)))' = \frac{1}{\exp(z)} \exp(z) =1 \]
Su questo intorno abbiamo dunque \( L(\exp(z))= z \) e dunque \( \exp(L(\exp(z))) = \exp(z) \).
Ora, \( \exp \) ha un inversa in un intorno di \( \omega \) e deduciamo che \( \exp(L(z))=z \) su questo intorno.
Per il principio degli zeri isolati abbiamo \( \exp(L(z))=z, \forall z \in U \).

1) Perché è necessario che \( U \) sia semplicemente connesso?
2) A priori potremmo avere che \( \exp(z) \not\in U \) e quindi \( L(\exp(z)) \) è mal definito?
3) Perché il principio degli zeri isolati conclude la dimostrazione? Inoltre il principio degli zeri non necessita dell'analicità della funzione \( L \), cose che non abbiamo a priori in \( U \)?
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Re: Determinazione log su semplicemente connesso

Messaggioda 3m0o » 15/10/2019, 18:39

Mi spiego meglio per la domanda 3) allora questo è un corollario del principio degli zeri isolati
\( f,g : U \to \mathbb{C} \) analitiche, e \( f,g \) coincidono su \( V \subseteq U \) con un punto di accomulazione in \( U \) allora \( f=g \) in \( U \).
Okay ho che \( L \) nell'intorno di \( \omega \) è olomorfa e \( \exp \) olomorfa in \( U \), pertanto \( \exp(L(z)) \) è analitica nell'intorno di \( \omega\), inoltre anche la funzione identità è olomorfa in \( U \). Se \( L \) fosse analitica in \( U \) potrei applicare il corollario del principio degli zeri e dire che siccome \( \exp(L(z)) \) e \( z \) coincidono nell'intorno di \( \omega \) allora coincidono anche in \( U \), però mi manca l'anilicità di \( L \) su tutto \( U \), come la deduce?
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Re: Determinazione log su semplicemente connesso

Messaggioda dissonance » 16/10/2019, 13:12

Beh intanto se \(U\) non è semplicemente connesso allora la scrittura \(\int_a^z \frac{dz}{z}\) potrebbe essere senza senso. Prendi ad esempio \(U=\mathbb C\setminus 0\). Quanto vale \(\int_1^1\frac{dz}{z}?\) Potrebbe valere \(0\), ma potrebbe anche valere \(2\pi i\), o \(4\pi i\), etc...
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Re: Determinazione log su semplicemente connesso

Messaggioda 3m0o » 18/10/2019, 15:32

Hai ragione! Grazie
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