Problema esercizio Sottospazi

Messaggioda grgcc » 18/10/2019, 15:23

Salve a tutti , espongo il seguente problema:
Siano U e W i seguenti sottospazi di R^4:

$ U=L| ( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 2 , -2 ),( 0 , -1 , 1 ) | $ ; $ W= (x1,x2,x3,x4)in R^4 : x1+x2-x3+x4=0 $

il primo punto mi chiede di deteminare una base e la dimensione di U , dal calcolo ottengo che la DIM U=2 e una base è formata da $ B(U)=[(1,1,0,0)^t ;(1,0,2,-1)^t] $ mentre il secondo punto mi chiede di trovare la Dim W che dal calcolo ottengo che è uguale a 3 e una sua base è $ B(W)[(1,0,0,-1);(0,1,0,-1);(0,0,1,1)] $ .
Ora il terzo punto mi chiede di :Trovare tutti i vettori di norma unitaria a W e ortogonali a tutti i vettori di U.
qualcuno può aiutarmi a risolvere il terzo punto? non so dove mettere le mani
Ultima modifica di grgcc il 18/10/2019, 16:00, modificato 1 volta in totale.
grgcc
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 7 di 15
Iscritto il: 10/10/2018, 11:24

Re: Problema esercizio Sottospazi

Messaggioda Bokonon » 18/10/2019, 15:42

La dimensione e la base di U sono corrette. Si potevano scegliere indifferentemente la prima e la seconda colonna oppure la prima e la terza.
La dimensione di W è corretta ma la base è sbagliata. Considera che W è un sottospazio di dimensione 3 i cui vettori sono tutti perpendicolari a $a=(1,1,-1,-1)$, quindi anche i vettori della base scelta devono esserlo.
Se fai i conti, scopri che il prodotto scalare di ogni vettore della base con a non è mai zero (oppure sostituisci valori al vincolo).
Nessuno dei tre appartiene W e/o può far parte di una base di W.
Avatar utente
Bokonon
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 1692 di 1796
Iscritto il: 25/05/2018, 20:22

Re: Problema esercizio Sottospazi

Messaggioda grgcc » 18/10/2019, 15:56

io per trovare la base di W ho risolto il seguente sistema lineare $ { x1+x2-x3+x4=0 :} $
il quale mi da infinito alla 3 soluzioni con x1=t,x2=h,x3=k,x4=-t-h+k, quindi t $ (1,0,0,-1)^t $ ; h $ (0,1,0,-1)^t $ ;k $ (0,0,1,1)^t $ e se faccio il prodotto scalare con (1,1,-1,1) viene 0. Ho dimenticato il simbolo di trasposto prima, è corretto o c'è qualche errore?.
per quanto riguarda il punto 3 puoi darmi qualche consiglio su come risolverlo?

grazie per la risposta
grgcc
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 8 di 15
Iscritto il: 10/10/2018, 11:24

Re: Problema esercizio Sottospazi

Messaggioda grgcc » 18/10/2019, 15:59

ah cavolo mi sono accorto ora di aver scritto male il testo il sottospazio W è formato da x1+x2-x3+x4=0, perdonami
grgcc
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 9 di 15
Iscritto il: 10/10/2018, 11:24

Re: Problema esercizio Sottospazi

Messaggioda Bokonon » 18/10/2019, 16:14

Perdonato.
Allora la base è corretta.
La terza domanda chiede di trovare i vettori di norma unitaria che sono perpendicolari a U e appartengono a W.
Quindi basta risolvere il sistema $Ax=0$ ovvero trovare $ker(A)$ dove:
$A=( ( 1 , 1 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 2 , -1 ),( 1 , 1 , -1 , 1 ) )$
La logica è che troveremo un vettore perpendicolare alle prime due righe (quindi ad U) e al contempo perpendicolare allo spazio perpendicolare a W (e quindi apparterrà per forza a W).

Capita la logica, un modo alternativo è fare il prodotto vettoriale:
$ | ( hat(i) , hat(j) , hat(k) , hat(h) ),( 1 , 1 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 2 , -1 ),( 1 , 1 , -1 , 1 ) | $
Così facendo troveremo il vettore perpendicolare a tutte e tre le direzioni.

Il passo successivo è normalizzarlo.
Ultima modifica di Bokonon il 18/10/2019, 16:43, modificato 1 volta in totale.
Avatar utente
Bokonon
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 1693 di 1796
Iscritto il: 25/05/2018, 20:22

Re: Problema esercizio Sottospazi

Messaggioda grgcc » 18/10/2019, 16:26

ti ringrazio infinitamente , ho calcolato il ker(A) che ha dimensione 1 e una base formata da t (0,0,1,2) l'ho normalizzato e ho trovato $ 1/sqrt(5)(0,0,1,2)t $ che dovrebbe essere corretto
grgcc
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 10 di 15
Iscritto il: 10/10/2018, 11:24

Re: Problema esercizio Sottospazi

Messaggioda Bokonon » 18/10/2019, 16:29

Temo di no
Deve venirti fuori il vettore unitario $<-1/2,1/2,1/2,1/2>$ che chiaramente appartiene a W (ne soddisfa il vincolo) ed è perpendicolare a U
Attenzione: anche il medesimo vettore moltiplicato per -1 è una risposta al problema.

Insomma i due vettori unitari sono $<-1/2,1/2,1/2,1/2>$ e $<1/2,-1/2,-1/2,-1/2>$ a seconda del verso.
Avatar utente
Bokonon
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 1694 di 1796
Iscritto il: 25/05/2018, 20:22

Re: Problema esercizio Sottospazi

Messaggioda grgcc » 18/10/2019, 17:03

grazie mille , ho sbagliato una sottrazione :) torna (-1/2,1/2,1/2,1/2)
grgcc
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 11 di 15
Iscritto il: 10/10/2018, 11:24

Re: Problema esercizio Sottospazi

Messaggioda Bokonon » 18/10/2019, 17:06

Prego
Fai sempre un check!
Avatar utente
Bokonon
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 1696 di 1796
Iscritto il: 25/05/2018, 20:22


Torna a Geometria e algebra lineare

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 24 ospiti