Spazio delle matrici esercizio

Messaggioda grgcc » 18/10/2019, 17:16

Salve ho un dubbio sulla risoluzione del seguente problema:
data la matrice $ N=| ( 1 , 1 ),( 0 , 2 ) | $ trovare una base del sottospazio E di Mat(2x2) definito come segue

$ E= A in Mat(2*2) : AN=NA $

io l'ho svolto trovando la matrice inversa di N e quindi una base di E è data da $ N^-1 N= I $

Poi mi chiede di determinare una base e la dimensione del sottospazio di E di Mat(3x3) formato dalle matrici simmetriche aventi traccia nulla , e qui non sono riuscito a tirare fuori un ragionamento logico qualcuno può darmi una mano a ragionare?
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Re: Spazio delle matrici esercizio

Messaggioda grgcc » 18/10/2019, 18:19

ho trovato l'equazione del sottospazio in questione (credo)
x+y+w=0--> quindi una base se non sbaglio dovrebbe essere $ | ( 1 , 0 ),( 0 , -1 ) | $ ; $ | ( 0 , 1 ),( 0 , -1 ) | $
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Re: Spazio delle matrici esercizio

Messaggioda Bokonon » 18/10/2019, 19:04

Usa la condizione.
Scrivi $ A=( ( a , b ),( c , d ) ) $ e fai $AN$ e $NA$ e poi uguaglia le componenti delle due matrici
Otterrai $ A=( ( a , 2d-a ),( 0 , 2d ) ) $
Per comodità sostituiamo $2d=b$ e abbiamo $ A=( ( a , b-a ),( 0 , b ) ) =a( ( 1 , -1 ),( 0 , 0 ) )+b( ( 0 , 1 ),( 0 , 1 ) )$

Per le matrici simmetriche scrivi $ S=( ( a , c , d ),( c , b , e ),( d , e , -a-b ) ) $ e poi decomponi come sopra.
E' naturale che in $Mat(3x3)$ la dimensione sia 5, visto che lo spazio delle matrici simmetriche generale ha dimensione 6 e, in questo caso, hanno un grado di libertà in meno dovuto al vincolo sulla traccia.
Ultima modifica di Bokonon il 19/10/2019, 16:14, modificato 1 volta in totale.
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Re: Spazio delle matrici esercizio

Messaggioda grgcc » 19/10/2019, 15:46

grazie mille dell'aiuto , però non mi è molto chiara la matrice S , cioè come faccio ad ottenerla?
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Re: Spazio delle matrici esercizio

Messaggioda Bokonon » 19/10/2019, 16:19

Ho corretto la S perchè avevo scritto b al posto di d.
La ottieni scrivendola, no?
Una matrice simmetrica generica ha elementi diversi lungo la diagonale ed elementi uguali a coppie al di fuori della diagonale. Scrivila mettendoci le lettere che vuoi.
Poi applica anche il vincolo sulla traccia per cui la somma degli elementi sulla diagonale dev'essere uguale a zero e metti uno dei valori in funzione degli altri due.
Ti verrà fuori una matrice analoga.
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Re: Spazio delle matrici esercizio

Messaggioda grgcc » 19/10/2019, 16:51

ah okok chiaro, un ultima domanda per quanto riguarda la matrice AN=NA se volessi seguire il ragionamento del suo collega "arnett" è giusto il procedimento che applico?
chiamo $ A=| ( x , y ),( z , w ) | $ e facendo quindi AN ottengo--> $ | ( x , y ),(z ,z+2w ) | $ , faccio lo stesso con NA e ottengo $ | ( x+z , y+w),(2z ,2w ) | $ quindi portando AN-NA=0 ottengo un sistema lineare con eqauzioni z=0,x+y-w=0 da cui ottengo la seguente base --> $ | ( 1 , 0),( 0,1 ) | $ ; $ | ( 0 , 1 ),( 0 , 1 ) | $ non so il ragionamento cosi puo' funzionare
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Re: Spazio delle matrici esercizio

Messaggioda Bokonon » 19/10/2019, 18:49

Però devi leggere. Ho scritto:
Bokonon ha scritto:Scrivi $ A=( ( a , b ),( c , d ) ) $ e fai $AN$ e $NA$ e poi uguaglia le componenti delle due matrici

Ti faccio notare che dal sistema avrai ottenuto immediatamente che $z=0$
Quindi un'equazione diventa $x=x$ e un'altra $w=w$
Quindi devi ricavare y in funzione di x e w, pensaci.
Che senso ha parametrizzare così?
$ { ( x=x ),( w=x+y ),( z=0 ),( w=w ):} $
Le variabili libere sono x e w, non la y
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Re: Spazio delle matrici esercizio

Messaggioda Bokonon » 20/10/2019, 16:30

arnett ha scritto:Questo non lo ho capito, forse c'è qualche errore di battitura.

$ ( ( x , y ),( z , w ) ) ( ( 1 , 1 ),( 0 , 2 ) ) =( ( x , x+2y ),( z , z+2w ) ) $
$ ( ( 1 , 1 ),( 0 , 2 ) )( ( x , y ),( z , w ) ) =( ( x+z , y+w ),( 2z , 2w ) ) $
$ { ( x=x+z ),( x+2y=y+w ),( z=2z rArr z=0 ),( z+2w=2w ):} rArr { ( x=x),( x+y=w ),( z=0 ),( w=w ):}$
E a questo punto invece di ricavare la y perchè hai una parametrizzazione già bella e pronta, tu vai a complicarti la vita?
Va oltre il mio comprendonio :D
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Re: Spazio delle matrici esercizio

Messaggioda Bokonon » 20/10/2019, 16:55

Verissimo!
Ma abbiamo tutti e tre risolto il medesimo sistema e giuro che, al secondo passaggio, non mi sono nemmeno posto il problema di scegliere una parametrizzazione diversa da quella sorgeva naturale!
E' affascinante come lavora l'inconscio :D
Per esempio, se vi chiedessi perchè avete fatto quel passaggio? cosa direste?
La mia ipotesi è che ordinate le componenti per avere sempre le ultime in funzione di quelle precedenti.
Ci sono andato lontano?
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Re: Spazio delle matrici esercizio

Messaggioda Bokonon » 20/10/2019, 23:01

@arnett
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Interessante.
Io invece non voglio che la prima componente sia negativa..anche se questo significasse che tutte le altro lo siano, LOL
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