Spazio delle matrici esercizio

Messaggioda grgcc » 18/10/2019, 17:16

Salve ho un dubbio sulla risoluzione del seguente problema:
data la matrice $ N=| ( 1 , 1 ),( 0 , 2 ) | $ trovare una base del sottospazio E di Mat(2x2) definito come segue

$ E= A in Mat(2*2) : AN=NA $

io l'ho svolto trovando la matrice inversa di N e quindi una base di E è data da $ N^-1 N= I $

Poi mi chiede di determinare una base e la dimensione del sottospazio di E di Mat(3x3) formato dalle matrici simmetriche aventi traccia nulla , e qui non sono riuscito a tirare fuori un ragionamento logico qualcuno può darmi una mano a ragionare?
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Re: Spazio delle matrici esercizio

Messaggioda arnett » 18/10/2019, 17:24

grgcc ha scritto:io l'ho svolto trovando la matrice inversa di N e quindi una base di E è data da $ N^-1 N= I$


Una base è un insieme, di matrici in questo caso. Quello che hai scritto tu è un'uguaglianza sempre vera, quindi direi che non ci siamo.

Riesci a trovare equazioni cartesiane del sottospazio in questione? E riesci poi a passare da equazioni cartesiane a una base?
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Re: Spazio delle matrici esercizio

Messaggioda grgcc » 18/10/2019, 18:19

ho trovato l'equazione del sottospazio in questione (credo)
x+y+w=0--> quindi una base se non sbaglio dovrebbe essere $ | ( 1 , 0 ),( 0 , -1 ) | $ ; $ | ( 0 , 1 ),( 0 , -1 ) | $
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Re: Spazio delle matrici esercizio

Messaggioda Bokonon » 18/10/2019, 19:04

Usa la condizione.
Scrivi $ A=( ( a , b ),( c , d ) ) $ e fai $AN$ e $NA$ e poi uguaglia le componenti delle due matrici
Otterrai $ A=( ( a , 2d-a ),( 0 , 2d ) ) $
Per comodità sostituiamo $2d=b$ e abbiamo $ A=( ( a , b-a ),( 0 , b ) ) =a( ( 1 , -1 ),( 0 , 0 ) )+b( ( 0 , 1 ),( 0 , 1 ) )$

Per le matrici simmetriche scrivi $ S=( ( a , c , d ),( c , b , e ),( d , e , -a-b ) ) $ e poi decomponi come sopra.
E' naturale che in $Mat(3x3)$ la dimensione sia 5, visto che lo spazio delle matrici simmetriche generale ha dimensione 6 e, in questo caso, hanno un grado di libertà in meno dovuto al vincolo sulla traccia.
Ultima modifica di Bokonon il 19/10/2019, 16:14, modificato 1 volta in totale.
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Re: Spazio delle matrici esercizio

Messaggioda grgcc » 19/10/2019, 15:46

grazie mille dell'aiuto , però non mi è molto chiara la matrice S , cioè come faccio ad ottenerla?
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Re: Spazio delle matrici esercizio

Messaggioda Bokonon » 19/10/2019, 16:19

Ho corretto la S perchè avevo scritto b al posto di d.
La ottieni scrivendola, no?
Una matrice simmetrica generica ha elementi diversi lungo la diagonale ed elementi uguali a coppie al di fuori della diagonale. Scrivila mettendoci le lettere che vuoi.
Poi applica anche il vincolo sulla traccia per cui la somma degli elementi sulla diagonale dev'essere uguale a zero e metti uno dei valori in funzione degli altri due.
Ti verrà fuori una matrice analoga.
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Re: Spazio delle matrici esercizio

Messaggioda grgcc » 19/10/2019, 16:51

ah okok chiaro, un ultima domanda per quanto riguarda la matrice AN=NA se volessi seguire il ragionamento del suo collega "arnett" è giusto il procedimento che applico?
chiamo $ A=| ( x , y ),( z , w ) | $ e facendo quindi AN ottengo--> $ | ( x , y ),(z ,z+2w ) | $ , faccio lo stesso con NA e ottengo $ | ( x+z , y+w),(2z ,2w ) | $ quindi portando AN-NA=0 ottengo un sistema lineare con eqauzioni z=0,x+y-w=0 da cui ottengo la seguente base --> $ | ( 1 , 0),( 0,1 ) | $ ; $ | ( 0 , 1 ),( 0 , 1 ) | $ non so il ragionamento cosi puo' funzionare
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Re: Spazio delle matrici esercizio

Messaggioda Bokonon » 19/10/2019, 18:49

Però devi leggere. Ho scritto:
Bokonon ha scritto:Scrivi $ A=( ( a , b ),( c , d ) ) $ e fai $AN$ e $NA$ e poi uguaglia le componenti delle due matrici

Ti faccio notare che dal sistema avrai ottenuto immediatamente che $z=0$
Quindi un'equazione diventa $x=x$ e un'altra $w=w$
Quindi devi ricavare y in funzione di x e w, pensaci.
Che senso ha parametrizzare così?
$ { ( x=x ),( w=x+y ),( z=0 ),( w=w ):} $
Le variabili libere sono x e w, non la y
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Re: Spazio delle matrici esercizio

Messaggioda arnett » 20/10/2019, 15:18

Non ho capito cosa c'è che non va. Il mio procedimento e quello di Bokonon sono lo stesso procedimento. In ogni caso devi arrivare al sistema $z=0$, $x+y-w=0$, o equivalente. Poi a seconda di quali variabili liberi ottieni basi diverse. Per esempio se liberi $x$ e $w$, come ha fatto Bokonon, ottieni
$\{(x=s),(y= t-s),(w = t), (z=0):} \implies \mathcal{B}={((1, -1), (0 ,0)), ((0, 1), (0, 1))}.$
Se invece, come hai fatto tu, vengono liberate $x$ e $y$, ottieni
$\{(x=t),(y= s),(w = t+s), (z=0):} \implies \mathcal{C}={((1, 0), (0 ,1)), ((0, 1), (0, 1))}.$

Puoi pure provare a liberare $y$ e $w$, va bene in ogni caso.

Bokonon ha scritto:Che senso ha parametrizzare così?
$ { ( x=x ),( w=x+y ),( z=0 ),( w=w ):} $
Le variabili libere sono x e w, non la y


Questo non lo ho capito, forse c'è qualche errore di battitura.
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Re: Spazio delle matrici esercizio

Messaggioda Bokonon » 20/10/2019, 16:30

arnett ha scritto:Questo non lo ho capito, forse c'è qualche errore di battitura.

$ ( ( x , y ),( z , w ) ) ( ( 1 , 1 ),( 0 , 2 ) ) =( ( x , x+2y ),( z , z+2w ) ) $
$ ( ( 1 , 1 ),( 0 , 2 ) )( ( x , y ),( z , w ) ) =( ( x+z , y+w ),( 2z , 2w ) ) $
$ { ( x=x+z ),( x+2y=y+w ),( z=2z rArr z=0 ),( z+2w=2w ):} rArr { ( x=x),( x+y=w ),( z=0 ),( w=w ):}$
E a questo punto invece di ricavare la y perchè hai una parametrizzazione già bella e pronta, tu vai a complicarti la vita?
Va oltre il mio comprendonio :D
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