Teoria rigorosa della goniometria

Messaggioda ZfreS » 18/10/2019, 18:27

Vorrei avere un'informazione. Di solito la goniometria viene presentata nel penultimo anno dei licei/istituti tecnici con più o meno dettagli, ma vine mostrata come una branca a se della matematica. Poi però studiando analisi e le funzioni, si ritorna a parlare di funzioni circolari soì come sono state presentate ma in un contesto diverso. Viene detto seno di x l'rodinata del punto in cui la semiretta (che indiviadua l'arco di lunhezza x) che interseca la circonferenza. Ma in teoria non andrebbe definito rigorosamente, facendo riferimento agli assiomi dei reali, che cos'è un'arco e la sua lunghezza, che cos'è una circonferenza, che cosa significa orientare un angolo, muoversi in verso orario e antiorario. Penso che ci sia una trattazione al limite del rigore della goniometria. Poi definita la fuzione seno, dimostrare che il seno di un certo arco è un valore irrazionale, ecc. Se sapete qualcosa a riguardo non esitate a rispondere!
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Re: Teoria rigorosa della goniometria

Messaggioda gugo82 » 18/10/2019, 19:16

Dipende da che livello di formalizzazione ti interessa avere.

Usualmente, ciò che si fa è definire analiticamente le funzioni seno e coseno e poi ricavare “a ritroso” la loro interpretazione geometrica.
La definizione analitica può essere data in almeno quattro modi diversi (serie di potenze, soluzioni di un sistema di EDO del primo ordine, soluzioni indipendenti di una EDO del secondo ordine, parte reale e coefficiente dell’immaginario dell’esponenziale complesso), ma per capirle serve conoscere argomenti più o meno avanzati di Analisi Matematica.

Probabilmente, si può ragionare anche dal punto di vista geometrico, sfruttando le matrici di $text(SO)(2, RR)$… Ma non ti assicuro: aspettiamo che passi di qui un geometra.
Oppure, si potrà sfruttare in qualche modo il fatto che l’esponenziale complesso è un morfismo… Ma aspettiamo che passi di qui un algebrista. :wink:

Tuttavia, osserva che queste costruzioni astratte ti restituiscono delle funzioni che solo “a posteriori” puoi dire che sono quelle che ti descrivono le analoghe quantità della Geometria elementare.
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Re: Teoria rigorosa della goniometria

Messaggioda ZfreS » 18/10/2019, 19:26

Bene gugo, mi hai chiarito le idee, grazie per l'intervento!
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Re: Teoria rigorosa della goniometria

Messaggioda otta96 » 18/10/2019, 21:32

gugo82 ha scritto:Oppure, si potrà sfruttare in qualche modo il fatto che l’esponenziale complesso è un morfismo… Ma aspettiamo che passi di qui un algebrista. :wink:

Non sono un algebrista ma sul Prodi segue proprio questa strada (che è quella che preferisco) per definire le funzioni circolari e devo dire che secondo me quel capitolo è il migliore del libro (che non è poco).
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