Ho difficolta, sempre che sia corretta, a "vedere" questa dimostrazione che ho abbozzato.
In particolare la contronominale recita che in caratteristica $0$ tutti i polinomi irriducibili sono separabili ma non riesco a farmi un esempio che di grado maggiore al primo. Più che altro ho l'impressione che in caratteristica zero i polinomi irriducibili o non hanno radici o sono di grado uno.
Sia $K$ un campo e $f in K[x]$ un polinomio irriducibile
se $f$ ha almeno una radice multipla in $K$ allora $chrK>0$
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
sia $alpha in K$ una radice multipla di $f$ allora esistono un polinomio $q in K[x]$ e un $m>1$ per cui $f(x)=(x-alpha)^mq(x)$ e $q(alpha)ne0$ che posso scrivere come $f(x)=(x-alpha)*[(x-alpha)^(m-1)q(x)]$
essendo $f$ irriducibile, ed essendo $x-alpha$ non unità, deve essere $(x-alpha)^(m-1)q(x)=c$ per qualche $c in K$.
Derivando si ottiene $(m-1)(x-alpha)^(m-2)q(x)+(x-alpha)^(m-1)q'(x)=0$
visto che $(x-alpha)^(m-2)$ è non nullo posso dividere per questo fattore ottenendo
essendo $q(alpha) ne0$ si ottiene $(m-1)*1_k=0$ con $(m-1)>0$ pertanto $K$ ammette una caratteristica non nulla.
essendo $f$ irriducibile, ed essendo $x-alpha$ non unità, deve essere $(x-alpha)^(m-1)q(x)=c$ per qualche $c in K$.
Derivando si ottiene $(m-1)(x-alpha)^(m-2)q(x)+(x-alpha)^(m-1)q'(x)=0$
visto che $(x-alpha)^(m-2)$ è non nullo posso dividere per questo fattore ottenendo
$(m-1)q(x)+(x-alpha)^(m-1)q'(x)=0 => (m-1)q(alpha)=0$
essendo $q(alpha) ne0$ si ottiene $(m-1)*1_k=0$ con $(m-1)>0$ pertanto $K$ ammette una caratteristica non nulla.