Invarianza per omotopia di un assioma di numerabilità

[Reyzet]

Ciao, cercavo un esempio spazio topologico che mostrasse che l'essere secondo numerabile non è un invariante per omotopia di spazi.
Pensavo ad $l^\infty$ con la topologia indotta dalla solita norma/metrica del sup, che essendo metrizzabile e non separabile non è secondo numerabile. D'altra parte è uno spazio normato e quindi (penso?) contraibile e quindi omotopo a un punto che invece è ovviamente secondo numerabile.
Ha senso? O ho detto una sequenza di cavolate?
In caso qualcuno conoscesse eventuali altri esempi mi piacerebbe conoscerli.

[otta96]

Si è giusto, un altro esempio potrebbe essere un prodotto più che numerabile di spazi contraibili con almeno due punti ciascuno che è sempre contrabile ma non è secondo numerabile.

[Reyzet]

Ah ottimo. Che il prodotto di spazi contraibile fosse contraibile non lo sapevo, ma è facile in effetti vederlo. Non riesco però a capire perché quello spazio non sia secondo numerabile, esiste qualche teorema che dice che il prodotto non numerabile di spazi non discreti non è secondo numerabile?

[otta96]

Si, è facile dimostrare che non è nemmeno primo numerabile.