Monotonia successione

[Salvy]

Salve ragazzi, ho provato a dimostrare la monotonia di questa successione ,$(3sqrt(n)-n)/(n+1)$, ma non riesco a procedere e concludere(ho usato la definizione $a(n+1)<a(n)$ ).Qualche trucco algebrico per vedere il suo comportamento?P.S non posso usare la derivata. Grazie

$(3sqrt(n+1)-n-1)/(n+2) <(3sqrt(n)-n)/(n+1) $ da qui in poi non so procedere.
Ho pensato di procedere in questo modo :
$3nsqrt(n)-n^2+6sqrtn-2n>3nsqrt(n+1)-n^2-2n+3sqrt(n+1)-1$
$3nsqrtn+6sqrtn>3nsqrtn+3sqrtn$ per n->+oo
dunque 6>3 ,concludo dicendo che la successione è monotona decrescente definitivamente.È giusto concludere in questo modo(facendo questa approssimazione per $n->+oo$)? avrei potuto risolvere la disequazione in un altro modo? Grazie

[Quinzio]

Prendi i due addendi del singolo termine separatamente e dimostra che ciascuna successione e' monotona.
Teorema: la somma di due successioni monotone (nello stesso verso) e' anch'essa monotona.

Ovvero

$ (3sqrt(n)-n)/(n+1) = a_n+ b_n = 3sqrt(n)/(n+1) - n/(n+1)$

Dimostriamo che la successione $a_n$ e' monotona

$ sqrt(n)/(n+1) > sqrt(n+1)/(n+2) $

$ sqrt(n)/sqrt(n+1) > (n+1)/(n+2) $

$ n/(n+1) > (n^2+2n+1)/(n^2+4n+4) $

$ n^3+4n^2+4n > n^3+3n^2+3n + 1 $

$ n^2+n > 1$ per $ n > 0$

Dimostriamo che la successione $b_n$ e' monotona

$- n/(n+1) > - (n+1)/(n+2) $

$ n/(n+1) < (n+1)/(n+2) $

$ n^2 + 2n < n^2 +2n + 1 $

$ 0 < 1$ per $\forall n$

[Salvy]

Prendi i due addendi del singolo termine separatamente e dimostra che ciascuna successione e' monotona.
Teorema: la somma di due successioni monotone (nello stesso verso) e' anch'essa monotona.

Ovvero

$ (3sqrt(n)-n)/(n+1) = a_n+ b_n = 3sqrt(n)/(n+1) - n/(n+1)$

Dimostriamo che la successione $a_n$ e' monotona

$ sqrt(n)/(n+1) > sqrt(n+1)/(n+2) $

$ sqrt(n)/sqrt(n+1) > (n+1)/(n+2) $

$ n/(n+1) > (n^2+2n+1)/(n^2+4n+4) $

$ n^3+4n^2+4n > n^3+3n^2+3n + 1 $

$ n^2+n > 1$ per $ n > 0$

Dimostriamo che la successione $b_n$ e' monotona

$- n/(n+1) > - (n+1)/(n+2) $

$ n/(n+1) < (n+1)/(n+2) $

$ n^2 + 2n < n^2 +2n + 1 $

$ 0 < 1$ per $\forall n$

Grazie mille, e quando le due successioni sono monotone con segno opposto, non possiamo dire nulla a priori giusto?

[Quinzio]

Grazie mille, e quando le due successioni sono monotone con segno opposto, non possiamo dire nulla a priori giusto?

Esatto.

Meglio dire "di verso opposto" o di "direzione opposta".
Perche' una successione puo' essere a valori negativi ma monotona crescente. Ad un certo punto la successione puo' passare da negativa a positiva. Insomma, il segno + o -, non c'entra.

[Salvy]

Grazie mille, e quando le due successioni sono monotone con segno opposto, non possiamo dire nulla a priori giusto?

Esatto.

Meglio dire "di verso opposto" o di "direzione opposta".
Perche' una successione puo' essere a valori negativi ma monotona crescente. Ad un certo punto la successione puo' passare da negativa a positiva. Insomma, il segno + o -, non c'entra.

L'approssimazione che ho usato io ad un certo punto è sbagliata?(per $x->oo$)

[Quinzio]

Si, diciamo che dimostri che con $n$ "molto grandi" la successione diventa monotona.
Bisognerebbe pero' dimostrare che la successione e' tutta monotona, a partire da $n = 1$

[Salvy]

Quindi in quel caso non potrei usare il teorema della regolarità delle successioni monotone poiché richiede come ipotesi una successione monotona per ogni n?