Integrazione per serie

[ValeForce]

Salve a tutti!
Mi serve aiuto col seguente esercizio:

Integrare per serie la funzione $arctan(sin(x))$ per $x in [0,pi/4]$

Siccome sappiamo che $arctan(t)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n t^(2n+1)/(2n+1)$

Quindi $arctan(sin(x))=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (sin(x))^(2n+1)/(2n+1)$

Dopo aver dimostrato che la serie converge uniformemente nell'intervallo richiesto, per il teorema di integrazione per serie risulta:

$\int_{0}^{\pi/4} arctan(sin(x))\ dx =\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n/(2n+1) \int_{0}^{\pi/4} sin(x)^(2n+1)\ dx$

Il problema sta nel calcolo dell'integrale a destra, infatti mi risulta
$\int_{0}^{\pi/4} sin(x)^(2n+1)\ dx=\int_{1}^{sqrt2/2} (1-y^2)^n \ dy$ con $y=cos(x)$.
Come proseguo? Dovrei sviluppare il binomio di Newton? Come?

[Luca.Lussardi]

Come hai calcolato quell'integrale? Il risultato non può dipendere da $x$...

[ValeForce]

È passato un po' di tempo e alla fine sono andato al ricevimento. Il professore mi ha detto che semplicemente non si può ottenere una soluzione numerica (forse perché siamo semplicemente in un corso di analisi matematica 2), infatti il testo dice solo "integrare per serie" e non di stimare il valore dell'integrale entro un errore. Comunque:
$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (sinx)^{2n+1} dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} sin(x)\cdot (sinx)^{2n} dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} sin(x)\cdot (1-cos^2x)^{n} dx=-\int_{1}^{\frac{\sqrt2}{2}}(1-y^2)^n dy$
con $y=cosx$ come detto prima.
Il risultato finale dovrebbe essere così se non ho sbagliato (usando il binomio di Newton):
$$ \int_{0}^{\pi/4} arctan(sin(x))\ dx =- \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \cdot \sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k}\cdot \frac{(\frac{\sqrt2}{2})^{2k+1}-1}{2k+1} $$
Ha senso scrivere in quel modo il membro a destra o si può "compattare"? Il professore mi ha solo fatto vedere come applicare il binomio di Newton in quell'integrale in cui mi ero fermato.