Funzione olomorfa, identicamente nulla.

[3m0o]

Non ho idea alcuna di come dimostrare quanto segue
Sia \( f : \mathbb{D} \to \mathbb{C} \) olomorfa in \( \mathbb{D} \) (il disco unitario aperto) tale che \( f(e^{it})e^{it/2} \in \mathbb{R} \) per ogni \( t \in [0,2\pi] \). Dimostra che \( f \equiv 0 \).
In primo luogo penso che la funzione dovrebbe essere \( f : \overline{D(0,1)} \to \mathbb{C} \) e olomorfa in \( \mathbb{D} \) altrimenti potrebbe non avere senso \( f(e^{it}) \). Correggetemi se sbaglio.

Comunque non nessuna idea.

[Quinzio]

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Correggetemi se sbaglio.

Hai ragione, ma il "senso" del problema rimane.
Se dal disco unitario passiamo al disco di raggio 2 aperto, va tutto a posto.

Il discorso qui e' che $f(t)$ deve contenere il coniugato complesso, che non da una funzione olomorfa.

Ossia: $f(z)$ con $z = e^{it}$ che si "muove" sulla circonferenza unitaria deve essere del tipo $g(t) sqrt(\bar z)$, con $g(t) \in RR$, in modo che quando sia moltiplicata per $e^{it/2} = sqrt(z)$ dia un numero reale.

Quindi $f(t)$ non e' olomorfa, a meno che non sia banalmente nulla ovunque.

[dissonance]

@Quinzio: qualche idea c'è, ma non mi pare che questa sia una dimostrazione. La \(f\) potrebbe essere "del tipo \(g(t)\frac{1}{\sqrt{z}}\)", come dici tu, e lo stesso darebbe un numero reale senza dipendere da \(\overline z\). Come fai ad escludere questa eventualità?

Una possibilità è questa. Abbiamo detto che
\[
f(z)=\frac{g(z)}{\sqrt z}, \]
dove \(g\) è una funzione olomorfa. Ma sul disco unitario, \(g\) deve assumere valori reali, e questo implica che \(g\) è costante (https://math.stackexchange.com/question ... n-z-1-then). E quindi \(g=0\), perché altrimenti ci sarebbe una singolarità in \(z=0\).

Questa ancora non è una dimostrazione rigorosa, però. Chissà se ci stiamo avvicinando.

[Quinzio]

Ok dissonance. Grazie per la nota.
Siccome il post serve prima di tutto a chi ha fatto la domanda, metto la mia risposta sotto spoiler.

Mi ero basato sul fatto che

\( f(e^{it})e^{it/2} \in \mathbb{R} \)

Secondo me i casi sono 2, o la fase di $f(e^{it})$ e' opposta a $e^{it/2}$ oppure $f(e^{it}) = 0$.
Altri casi non ne vedo, ma sbagliero' qualcosa, non so.

[dissonance]

Ciao Quinzio, non ho mica detto che sbagli, anzi, credo che la tua sia una buona idea. Contesto solo che, secondo me, non è sufficiente a concludere la dimostrazione.

[3m0o]

Grazie delle risposte, ecco come ho fatto io con i vostri spunti, mi manca solo un passaggio che non riesco a capire. Supponendo che il problema richieda \( f \) definita su \( \overline{D(0,1)} \) ma analitica su \( D(0,1) \) e quindi non necessariamente analitica sul bordo, devo dimostrare che \( f \) continua sul bordo. In tal caso penso che quanto segue regge:

Sia \( \phi: \mathbb{D} \to \mathbb{C} \) una funzione olomorfa sul disco unitario aperto. Allora \( \forall r < 1 \) abbiamo che
\[ \phi(z) = \frac{1}{2\pi i } \int_{\left| \xi - z \right| = r} \frac{\phi(\xi)}{\xi - r } d\xi = \frac{1}{2\pi i } \int_{0}^{2 \pi} \frac{\phi(z + re^{i\theta}) ire^{i\theta}}{re^{i\theta}} d\theta = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2 \pi} \phi(z + re^{i\theta}) d\theta\]

Ora sia \( \phi \) una funzione non costante \( \phi: \overline{D(0,1)} \to \mathbb{C} \) olomorfa in \( \mathbb{D} \) e continua su \( \partial \mathbb{D} \) e tale che \( \forall \omega \in \partial \mathbb{D} \) risulta \( \left| \phi ( \omega ) \right| \leq M \) con \( M \in \mathbb{R} \) allora risulta che \( \forall \left| z \right| < 1 \) abbiamo \( \left| \phi(z) \right| \leq \left| \phi(\omega) \right| \), per qualche \( \omega \in \partial \mathbb{D} \).
Abbiamo che,
\[ \left| \phi(z) \right| = \left| \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2 \pi} \phi(z + re^{i\theta}) d\theta \right| \leq \max_{\omega \in \partial \mathbb{D} } \left| \phi(\omega) \right| = M \]

Pertanto con \( r \leq 1 \), e ponendo \( g(re^{it})= f(re^{it})re^{it/2} \), e ponendo \( h_+(z)= e^{i g(z)} \) e \( h_-(z)= e^{-ig(z)} \) abbiamo che \( \left| h_+(e^{it}) \right| = 1 \) e \( \left| h_-(e^{it}) \right| = 1 \) pertanto per tutti i \( z \) tale che \( \left| z \right| < 1 \) risulta che
\( \left| h_+(z) \right| \leq 1 \) e \( \left| h_-(z) \right| \leq 1 \) ma \( h_+(z)= \frac{ 1}{ h_-(z)} \) pertanto
\[ 1 \leq \left| \frac{ 1}{ h_-(z)} \right| =\left| h_+(z) \right| \leq 1 \]
Dunque \( h_+ \) e \( h_- \) sono costanti e valgono 1. Pertanto \( g(z) = 2 \pi k \) è costante (siccome analitica), con \( k \in \mathbb{Z} \) fissato.
Se \( k \neq 0 \) e siccome \( e^{it/2} \) non è costante abbiamo \( f(e^{it})=2\pi k e^{-it/2}\) per tutti i \( t \in [0,2\pi] \), ma dunque \( f \) non olomorfa siccome il coniugato non è olomorfo.

Pertanto \( k = 0 \). E questo implica che \( f \equiv 0 \) sul bordo. Per prolungamento analitico \( f \equiv 0 \) anche su \( \mathbb{D} \) siccome se non fosse nulla allora avremmo un salto di discontinutià.

Cosa ne pensate?

[dissonance]

È un po' confuso, faccio fatica a seguirti. Dove usi l'ipotesi?

[3m0o]

È un po' confuso, faccio fatica a seguirti. Dove usi l'ipotesi?

Probabilmente è confuso perché sono io confuso
Cerco comunque di spiegarmi meglio: mi manca di dimostrare che \( f \) continua sul bordo, ma se lo fosse allora:

Pertanto con \( r \leq 1 \), e ponendo \( g(re^{it})= f(re^{it})re^{it/2} \), e ponendo \( h_+(z)= e^{i g(z)} \) e \( h_-(z)= e^{-ig(z)} \) abbiamo che \( \left| h_+(e^{it}) \right| = 1 \) e \( \left| h_-(e^{it}) \right| = 1 \)

Qui uso il fatto che \( g(re^{it})= f(re^{it})re^{it/2} \) è reale sul bordo.

pertanto per tutti i \( z \) tale che \( \left| z \right| < 1 \) risulta che
\( \left| h_+(z) \right| \leq 1 \) e \( \left| h_-(z) \right| \leq 1 \) ma \( h_+(z)= \frac{ 1}{ h_-(z)} \) pertanto
\[ 1 \leq \left| \frac{ 1}{ h_-(z)} \right| =\left| h_+(z) \right| \leq 1 \]
Dunque \( h_+ \) e \( h_- \) sono costanti e valgono 1. Pertanto \( g(z) = 2 \pi k \) è costante (siccome analitica), con \( k \in \mathbb{Z} \) fissato.
Se \( k \neq 0 \) e siccome \( e^{it/2} \) non è costante abbiamo \( f(e^{it})=2\pi k e^{-it/2} \) per tutti i \( t \in [0,2\pi] \), ma dunque \( f \) non olomorfa siccome il coniugato non è olomorfo.

Qui siccome \( g \) è analitica sul disco unitario aperto (poiché moltiplicazione di due funzioni analitiche sul disco unitario aperto) abbiamo che \( g \) dev'essere costante, infatti se non fosse costante avremmo che \( h_+(z) = e^{i g(z)} =1\) per tutti i \( z \) sul disco unitario aperto e quindi \( g \) può assumere solo valori che sono multipli di \( 2 \pi \) e pertanto è discontinua e dunque non analitica.

Pertanto \( k = 0 \). E questo implica che \( f \equiv 0 \) sul bordo. Per prolungamento analitico \( f \equiv 0 \) anche su \( \mathbb{D} \) siccome se non fosse nulla allora avremmo un salto di discontinutià.

Cosa ne pensate?

Quindi siccome \( g \equiv 0 \), abbiamo che \(f \equiv 0 \).

[dissonance]

È tutto oggi che cercavo di postare ma purtroppo c'era un problema tecnico e il mio messaggio si è perso. Tra le altre cose, volevo dire che non è vero che g è analitica.

[dissonance]

Ho recuperato il messaggio che si era perso:


Mi pare che tu faccia prima una digressione, dove ridimostri il principio del massimo modulo, ma poi spendi pochissime parole proprio sul passaggio cruciale: le funzioni \(h_\pm(z)\). E' una buona idea studiare queste due funzioni, ma perché dovrebbero essere olomorfe? E se non lo sono, perché dovrebbero verificare \(\lvert h_\pm (z)\rvert \le 1\)?