Funzione limitata

[StexStex]

$f(x)= (2x^4)/(x^6 +x^2) $ con $f: RR\setminus \{ 0\} -> RR$ (con $RR$ intendo i numeri reali)

A) È limitata
B) È limitata superiormente ma non inferiormente
C) È limitata inferiormente ma non superiormente
D) È limitata.

Ho fatto i due limiti che per $x$ che tendono a $+oo$ e $-oo$ mi danno come risposta entrambe $0$. Ma essendo $0$ escluso dal dominio, posso dire che questa funzione è limitata?

[gugo82]

Hai le idee un po’ confuse, sia per la Matematica sia per la grammatica.

Cosa significa che una funzione è limitata?
Hai provato a tracciare il grafico di $f$?
Ti pare quello di una funzione limitata?

[StexStex]

Una funzione è limitata quando essa è limitata superiormente e inferiormente (es. seno).
No, perchè non saprei come tracciarlo, il nostro prof ci ha detto che è molto più facile e intuitivo risolverlo con i limiti, però se ritieni che sia meglio tracciarlo mi potresti dire come posso farlo?
La funzione è una divisione di due parabole ( quindi non è limitata? )

[gugo82]

Scusa, ma stai studiando Analisi o sei ancora alle superiori?

[StexStex]

Scusa, ma stai studiando Analisi o sei ancora alle superiori?

Analisi ad Informatica

[gugo82]

Scusa, ma stai studiando Analisi o sei ancora alle superiori?

Analisi ad Informatica

Ah…

Una funzione è limitata quando essa è limitata superiormente e inferiormente (es. seno).

Ok.

No, perchè non saprei come tracciarlo

Diciamo che il conoscere qualche metodo per tracciare grafici di semplici funzioni dovrebbe essere background comune a tutti gli studenti in uscita dalle superiori.
Il “non sapere come” è preoccupante.

il nostro prof ci ha detto che è molto più facile e intuitivo risolverlo con i limiti

Sì, se sai cosa stai facendo… Ma se non lo sai, non si capisce quel che fai e/o non si capisce il perché fai certi passaggi.

Vediamo: se ti dico “funzione limitata”, che teoremi ti vengono in mente?

però se ritieni che sia meglio tracciarlo mi potresti dire come posso farlo?

Se davvero non sai come fare, puoi usare un software o qualche sito web.
Il grafico (come ogni rappresentazione grafica) serve a farti un’idea di quale può essere la risposta giusta; il prossimo step consiste nel giustificare la risposta con i mezzi tecnici che hai a disposizione.

La funzione è una divisione di due parabole ( quindi non è limitata? )

Cos’è la “divisione di due parabole”?
Da quando in qua si possono dividere tra loro due curve piane?

Il che, detto in altri termini, cerca di curare il linguaggio.

[pilloeffe]

Ciao StexStex,

Innanzitutto c'è qualcosa che non mi torna perché la risposta A) è uguale alla risposta D):

A) È limitata
B) È limitata superiormente ma non inferiormente
C) È limitata inferiormente ma non superiormente
D) È limitata.

Poi osserverei che per $x \ne 0 $ la funzione proposta si può semplificare:

$f(x) = \frac{2x^2}{x^4 + 1} $

Quest'ultima è una funzione pari (come del resto quella iniziale) per cui posto il suo dominio $D = D_{< 0} \cup D_{> 0} := (-\infty,0) \cup (0, +\infty) $ puoi limitarne lo studio a $ D_{> 0} = (0, +\infty) $ ed inoltre è sempre positiva, pertanto la risposta B) è senz'altro errata. Mediante lo studio del segno della derivata prima poi non dovresti avere difficoltà a trovare il punto di massimo $M(1, 1) $.