Diffeomorfismi e teorema dell'inversa

[materia]

Salve, se ho un'applicazione differenziabile con inversa differenziabile, essa deve necessariamente avere determinante jacobiano diverso da zero in ogni suo punto? O meglio, una funzione che è differenziabile con inversa differenziabile, può avere determinante iacobiano nullo in un punto del suo dominio?
Pensando alla funzione $x^3$, essa è differenziabile come pure la sua inversa, ma il suo determinante iacobiano, che coincide con la derivata prima, è nullo in $0$. Il teorema dell'inversa è solo una condizione sufficiente giusto?

[dissonance]

Pensando alla funzione $x^3$, essa è differenziabile come pure la sua inversa,

Sicuro? Pure nell'origine?

[materia]

Diamine hai stra ragione, ha un flesso a tangente verticale . quindi il teorema della funzione inversa è una condizione necessaria e sufficiente