Prodotti scalari (definiti positivi).

[Youssef92]

ciao ragazzi mi rivolgo a voi perché mi sto rassegnando con la dimostrazione di questa proposizione che non riesco a capire:

Sia <,> un prodotto scalare definito positivo allora è anche non degenere.

qualcuno me lo saprebbe dimostrare con tutti i passaggi semplici ? grazie tante.

[Samy21]

Non saprei ancora aiutarti ma ti suggerisco di dare una lettura a questo post datato in cui Sergio ha risposto ad un esercizio riguardante proprio questo argomento (pag 4).
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&start=30

Ciao.

[Samy21]

Grazie mille per i chiarimenti Sergio!

[Youssef92]

Non saprei ancora aiutarti ma ti suggerisco di dare una lettura a questo post datato in cui Sergio ha risposto ad un esercizio riguardante proprio questo argomento (pag 4).
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&start=30

Avevamo scritto contemporaneamente, ma vedo ora che quel vecchio messaggio conteneva una grossolana inesattezza e allora, per evitare di confondere Youssef92, mi correggo.
a) prodotto scalare degenere: avevo scritto "è degenere se $\langle v,w\rangle=0$ anche se né $v$ né $w$ è nullo", ma è sbagliato perché i due vettori potrebbero essere ortogonali; è degenere se esiste un vettore $v\ne 0$ tale che $\langle v,w\rangle=0$ per ogni $w$, cioè se il nucleo ha dimensione maggiore di zero;
b) prodotto scalare definito positivo: vuol dire che $\langle v,v\rangle=0$ solo se $v$ è nullo.

La definizione di prodotto scalare degenere coinvolge due vettori, quella di prodotto scalare definito positivo solo uno, ma se un prodotto scalare è degenere, allora esiste un vettore $v$ tale che $\langle v,w\rangle=0$ per ogni $w$, quindi anche se $w=v$. Può cioè aversi $\langle v,v\rangle=0$ per qualche $v$ non nullo.
In un prodotto scalare definito positivo si ha $\langle v,v\rangle=0$ solo se $v$ è nullo, quindi per definizione non può essere degenere.

Un esempio può aiutare. Il prodotto scalare
$$\langle v,w\rangle=(v_1,v_2)\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w_1 \\ w_2\end{pmatrix}=(v_1+v_2)(w_1+w_2)$$
è degenere perché $\langle (1,-1),w\rangle=0$ per ogni $w$ e ovviamente anche $\langle v,(1,-1)\rangle=0$ per ogni $v$. Si vede che questo succede perché la matrice associata ha determinante nullo.
Non può essere definito positivo perché anche \( \displaystyle \langle (1,-1), (1,-1)\rangle=0 \) .

grazie grazie!! adesso si mi torna più che altro non riuscivo a vedere la logica della dimostrazione che ho tra gli appunti ovvero; il fatto che se il prodotto scalare è definito positivo allora è anche non degenere ( $ arArr b $) e dunque un prodotto scalare degenere implica un prodotto scalare non definito positivo ($ neg brArr neg a $) ma poiché il prodotto scalare è definito positivo allora è non degenere.