Mi trovo di fronte alla seguente equazione integrale per la funzione $I(z')$:
$$j\frac{4\pi}{a}\omega\mu\epsilon E^i(z) \underbrace{=}_{\forall z\in [-L,L]} \int _{z'=-L}^L\left(k^2 I(z') + I''(z')\right)\frac{e^{-jk\sqrt{a ^2+(z-z')^2}}}{ \sqrt{a^2+(z-z')^2}}\mathrm{d}z'-\left[\frac{e^{-jk\sqrt{a ^2+(z-z')^2}}}{ \sqrt{a^2+(z-z')^2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z'}I(z') \right]_{z'=-L}^L +\left[I(z') \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} z'}\frac{e^{-jk\sqrt{a ^2+(z-z')^2}}}{ \sqrt{a^2+(z-z')^2}}\right]_{z'=-L}^L$$
dove \(\displaystyle a \),\(\displaystyle \omega \),\(\displaystyle \mu \).\(\displaystyle \epsilon \) e $k$ sono numeri reali fissati, \(\displaystyle j \) è l'unità immaginaria e \(\displaystyle E^i(z) \) è una funzione nota che vale \(\displaystyle E_0 = \text{const}\neq 0 \) in \(\displaystyle [-\Delta,\Delta] \) ed è invece nulla in \(\displaystyle [-L,L]\setminus [-\Delta,\Delta] \). Naturalmente \(\displaystyle 0<\Delta < L \).
L'equazione sopra è vera per ogni z nell'intervallo \(\displaystyle [-L,L] \).
Si può notare come \(\displaystyle I(z')=I_0\sin(k(L-|z'|)) \) verifichi l'equazione in tutti i punti \(\displaystyle z \notin [-\Delta,\Delta] \). Supponendo che si riesca a generalizzare la \(\displaystyle I(z') \) appena trovata in modo tale che essa verifichi l'equazione iniziale anche in \(\displaystyle [-\Delta,\Delta] \), si potrebbe concludere che la \(\displaystyle I(z') \) trovata è l'unica soluzione del problema?
Non so se esiste qualche teorema che garantisca questo fatto, chiedo per favore lumi.
Grazie.