Esercizio su serie (semplice)

[alifasi]

Ciao, vorrei chiedervi una mano per la seguente:

$\sum_(n=1)^oo(-1)^n/n$

che per Leibniz converge, ma non capisco come calcolarne il valore della somma

Ringrazio

[gugo82]

La somma si calcola sfruttando le serie di potenze e si vede essere $- log 2$ ($log$ è quello di Nepero).

[alifasi]

Ok credo di avere un problema a riguardo perché nonostante il suggerimento non capisco bene come procedere.
Scusami :I

PS:

Che intendessi questo? -> $log(1+x)=\sum_(n=1)^oo(-1)^(n+1)x^n/n=-\sum_(n=1)^oo(-1)^nx^n/n$ e poi sostituisco a x il valore 1.

[pilloeffe]

Ciao alifasi,

Che intendessi questo? [...]

Tieni conto che lo sviluppo in serie che hai scritto vale per $- 1 < x <= 1 $

[alifasi]

ciao pilloeffe,

Tieni conto che lo sviluppo in serie che hai scritto vale per $- 1 < x <= 1 $

Questo perché:

$lim_(n->oo)n/(n+1)=1=R$ ergo converge puntualmente in $|x-x_0|<R$ ossia $|x-0|<1$

giusto?

[pilloeffe]

giusto?

Beh, no. Da quello che hai scritto si deduce che la serie converge per $|x| < 1 \iff - 1 < x < 1 $, il che ovviamente è vero, ma qui ti si sta chiedendo di vedere cosa accade per $x = -1$ e per $x = 1$. Per $x = - 1 $ si ottiene $- \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n $ che diverge a $- \infty $, mentre per $x = 1 $...

[alifasi]

Eh già hai ragione, ho detto una cosa inutile ai fini del gioco.

Riproviamo

Per $x=1$ si ha $-\sum_(n=1)^oo(-1)^n1/n$

che rispetta tutte le richieste per poter applicare il criterio di leibniz ->la serie converge.

Ora, poiché: $log(1+x)=-\sum_(n=1)^oo(-1)^nx^n/n$, sostituendo a x il valore 1 trovo proprio quanto sperato.

C'è però un piccolo passaggio (in cui ho barato) che non saprei ben giustificare nella teoria, ossia: è vero per leibniz converge, però io so solo che converge cosa mi garantisce che se converge converge proprio solo a $log(1+1)$? cioè che la somma sia quel valore

[pilloeffe]

Per $x=−1 $ si ha $−\sum_{n = 1}^{+\infty}(−1)^n 1/n $

che rispetta tutte le richieste per poter applicare il criterio di leibniz ->la serie converge.

No attenzione, dall'equazione

$log(1+x)=\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^(n+1)x^n/n=-\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^nx^n/n $

controllando ciò che accade agli estremi $x = - 1 $ e $x = 1 $ chiusura dell'intervallo $|x| < 1 $ si vede che per $x = - 1 $ il secondo membro diventa $-\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n (-1)^n/n = -\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{2n}/n = -\sum_{n=1}^{+\infty} 1/n$

Siccome l'ultima scritta è la serie armonica che diverge a $ +\infty $, essendoci un segno $- $ davanti il tutto diverge a $-\infty $, il che corrisponde al fatto che $\lim_{x \to - 1} log(1 + x) = -\infty $
Invece è $x = 1 $ il caso che ti serve considerare...

[alifasi]

No, certo, ma x=-1 l'avevi giàfatto tu. Ho fatto un refuso nella scrittura (ma non nel ragionamento), caspita, ho corretto... io stavo analizzando x=1.
In quest'ottica il post sopra riprende senso con la relativa domanda annessa:

Eh già hai ragione, ho detto una cosa inutile ai fini del gioco.

Riproviamo

Per $x=1$ si ha $-\sum_(n=1)^oo(-1)^n1/n$ (ho tirato fuori -1 diminuendo l'espoente da n+1->n)

che rispetta tutte le richieste per poter applicare il criterio di leibniz ->la serie converge.

Ora, poiché: $log(1+x)=-\sum_(n=1)^oo(-1)^nx^n/n$, sostituendo a x il valore 1 trovo proprio quanto sperato.

C'è però un piccolo passaggio (in cui ho barato) che non saprei ben giustificare nella teoria, ossia: è vero per leibniz converge, però io so solo che converge cosa mi garantisce che se converge converge proprio solo a $log(1+1)$? cioè che la somma sia quel valore

[gugo82]

Beh, quello è un teorema di inversione di limiti che si basa su un teorema di Abel sulla convergenza uniforme…

Il discorso è più o meno questo. Se $f(x) = sum_(n=0)^oo a_n x^n$ con r.d.c. $0<r<oo$ e convergenza in $]-r,r]$, la convergenza della serie è totale in ogni intervallo $[a,b] sub ]-r,r[$ (questo si sa dalla teoria) e però è uniforme (anche se non totale) in ogni intervallo del tipo $[a,r]$ con $-r<a<= r$ (questo è il teorema di Abel: insomma, anche se -possibilmente- perdi la convergenza totale nell’estremo $r$ la convergenza uniforme ti rimane); ma allora puoi giocare a scambiare limiti e serie come segue:
\[
f(r) = \lim_{x \to r} f(x) = \lim_{x \to r} \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = \sum_{n=0}^\infty\lim_{x \to r} a_n x^n = \sum_{n=0}^\infty a_n r^n
\]
per convergenza uniforme.
Nel tuo caso questo procedimento comporta l’uguaglianza:
\[
- \log 2 = - \log(1 + 1) = \lim_{x \to 1} - \log(1 + x) = \sum_{n=0}^\infty \lim_{x \to 1} \frac{(-1)^{n}}{n+1} x^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{n+1}\;.
\]
(A meno di errori di segno… Controlla! )