da Indrjo Dedej » 24/10/2019, 06:55
Allora... In matematica ci sono delle frasi che contendgono delle variabili. Queste sono semplicemente dei segnaposti, degli "spazi vuoti" da riempire con qualcosa (se hai fatto informatica potresti a nomi a cui affidi un valore). C'è una regola molto semplice: ogni volta che ad una variabile sostituisci un qualcosa devi fare questa sostituzione per tutte le occorrenze in cui si presenta quella variabile. Prendiamo la frase con segnaposti del tuo esempio
\[a \sim b \Rightarrow b \sim a\,.\] Il quantificatore \(\forall\) con i simboli su cui agisce messi subito dopo dice essenzialmente che "la frase è vera per ogni sostituzione che fai a quelle variabili". Quindi potrei fare così: metto al posto di tutte (vedi quanto ho detto all'inizio) le \(a\) la \(b\) e al posto delle \(b\) le \(a\), ed hai
\[b \sim a \Rightarrow a \sim b\,,\] cioè l'implicazione con la freccia cambiata di verso. Come vedi in questo caso, grazie al quantificatore universale, \(\forall a,b \colon a \sim b \Rightarrow b \sim a\) contiene implicitamente anche l'implicazione inversa.
Se questo ti sembra astruso, puoi pensare così: prendo una generica coppia \(x_0\) e \(y_0\) tali che il primo oggetto sia in relazione con il secondo. Se la relazione è simmetrica, allora il secondo è in relazione con il primo. Ma trattandosi di una relazione simmetrica, da \(y_0 \sim x_0\) abbiamo allora (ancora) che il primo è in relazione col secondo. Come vedi in questo caso l'implicazione ti basta, e metterci \(\Leftrightarrow\) è sovrabbondante perché "ripetitivo".