Proprietà delle basi.

Messaggioda galles90 » 23/10/2019, 14:54

Salve,

sto rileggendo le proprietà delle basi, in particolare:

Considerato un sistema di vettori $B$ di un sottoinsieme $X$ di vettori di uno spazio vettoriale $V(K)$, si ha che
$a)$ $B$ sistema linearmente indipendente massimale in $X$
$b)$ $B$ sistema linearmente indipendente di generatori di $X$

sul testo viene proposta la dimostrazione del caso $a) to b)$, mi chiedo se fosse possibile $b) to a) $

Sarei tentato a dire di no, poichè, dovrei aggiungere alle ipotesi che $B$ sia anche una base.
E' corretto ?

Ciao
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Re: Proprietà delle basi.

Messaggioda Indrjo Dedej » 23/10/2019, 14:58

Un "sistema linearmente indipendente di generatori" non è una perifrasi per dire base?
Io non sono uomo, sono dinamite. ~ Nietzsche
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Re: Proprietà delle basi.

Messaggioda Bokonon » 23/10/2019, 17:48

Che libro è Galles?
Che definizione da di un sistema di generatori?
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Messaggioda j18eos » 24/10/2019, 08:33

@Indrjo Dedej Veramente le basi di uno spazio vettoriale sono definibili in tre maniere equivalenti, che riporto di séguito:
  1. sistema libero1 massimale;
  2. sistema di generatori libero;
  3. sistema di generatori minimale.

@galles90 Sì, si può dimostrare per (esempio con una) riduzione a un assurdo: sai cosa intendo dire?

Note

  1. Modo equivalente per dire "linearmente indipendente".
Ipocrisìa e omofobìa,
fuori da casa mia!

Semplicemente Armando. ;)
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Re: Proprietà delle basi.

Messaggioda arnett » 24/10/2019, 09:17

Minimale in che senso? Se ne tolgo uno non generano più lo spazio?
"ci scruta poi gira se ne va"
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Re: Proprietà delle basi.

Messaggioda Sergio » 24/10/2019, 09:44

arnett ha scritto:Minimale in che senso? Se ne tolgo uno non generano più lo spazio?

Esatto.
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
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Re: Proprietà delle basi.

Messaggioda galles90 » 24/10/2019, 10:13

Buongiorno,

@Indrjo Dedej è proprio quello che voglio dimostrare. Mi spiego meglio, riporto l'intera proposizione

Considerato un sistema di vettori $B$ di un sottoinsieme $X$ di vettori di uno spazio vettoriale $V(K)$, sono equivalenti le condizioni:
a) $B$ base di $X$
b) $B$ sistema linearmente indipendente massimale in $X$
c) $B$ sistema linearmente indipente di genetatori di $X$
d) $B$ sistema di generatori minimale di $X$

sul libro (@Bokonon Nicola Melone-Introduzione ai metodi dell'algebra lineare) viene proposta la seguente catena di implicazione
$a) to b) to c) to d) to a)$
ora vorrei provare a vedere se ce ne sono altre.

La definizione di base riportate sul libro è la seguente:
Si dice base o sistema linearmen indipendente di $V(K)$ ogni suo sistema linearmente indipendente di ordine massimo.

La prima implicazione $a) to b) $, risulta essere $b) to a)$ per definizione di base.
La terza implicazione $c) to d) $, risulta essere $d) to c)$, ho provato cosi:

Dimostrazione per assurdo

Se fosse $B$ linearmente dipendente, allora esiste un vettore $mathbf{u_i}$ di $B$, quindi i vettori rimanenti di $B$ possono essere espressi come combinazione lineare del vettore $mathbf{u_i}$, ossia, il vettore $mathbf{u_i}$, dipende linearmente dal sistema $T=B-{mathbf{u_i}}$.
Quindi abbiamo
$T subseteq B to [T] subseteq [B]$

$B subseteq [T] to [B] subseteq [T]$

allora
$[T]=[B]$, cioè $[T]=X$

sono arrivato all'assurdità, essendo che $T$ è contenuto in un sistema di generatori di $X$.

Ora non sono sicuro se l'implicazione può esistere, e tanto meno qualora esistesse sia corretta la dimostrazione.
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Re:

Messaggioda galles90 » 24/10/2019, 10:19

j18eos ha scritto:
@galles90 Sì, si può dimostrare per (esempio con una) riduzione a un assurdo: sai cosa intendo dire?


si ci sto provando, ho supposto per assurdo che il sistema $B$ è contenuto in un sistema linearmente indipendente, ossia $B subset B'$, dove $B'=B cup{mathbf{u_(n+1)}}.$

dovrei far vedere $B$ è L.D. ?
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Re: Proprietà delle basi.

Messaggioda vict85 » 24/10/2019, 11:28

Se \( \mathcal{G} \) è un sistema di generatori e \(\mathcal{G} \varsubsetneq A\) allora \(A\) è per forza linearmente dipendente. Non è difficile da dimostrare. Prendi \(\mathbf{u}\in A \setminus \mathcal{G}\). Per ipotesi sai che \(\mathbf{u} = \sum_{i=1}^k \alpha_i \mathbf{g}_i\) per qualche \(g_i\in \mathcal{G}\) e \(\alpha_i\in \mathbb{R}\). Pertanto \(A\) contiene il sistema linearmente dipendente \(\{ \mathbf{u}, \mathbf{g}_1,\dotsc, \mathbf{g}_k \}\) ed è linearmente dipendente esso stesso. Dubbi?

Quindi se \(A\subset X\) è un sistema linearmente indipendenti e \( \mathcal{G} \) è un suo sottoinsieme che è anche sistema di generatori di \(X\), allora deve essere per forza \(\mathcal{G} = A\).
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Re: Proprietà delle basi.

Messaggioda galles90 » 24/10/2019, 12:08

ciao vict85, quale implicazione stai dimostrando quella che ho fatto, quindi dovrebbe risultare sbagliata, oppure, la $c) to b) $
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