integrale improprio - teorema dei residui

Messaggioda qadesh » 23/10/2019, 11:43

Ciao a tutti,

vorrei proporre il seguente integrale su cui ho delle domande da farvi:

$\int_{\infty}^{\infty} sqrt(x) / {x^2 + 1} dx$


Allora, vorrei risolverlo col metodo dei residui per cui andrò a considerare un opportuno percorso di integrazione.
Essendoci una radice quadrata applichero un taglio tra i due punti di diramazione(zero e infinito) e quindi il percorso di integrazione sarà il seguente:

Immagine

In sostanza dovrei dimostrare che l'integrazione della curva esterna tende a zero per $R->\infty$...ma come posso fare??il lemma di jordan non posso applicarlo perchè vale solo per le curve semicircolari, giusto?

Per quanto riguarda il piccolo cerchio attorno all'origine anche in questo caso non si può applicare il lemma di jordan, mi pare di aver capito però, con una opportuna parametrizzazione, che ho visto e capito, si può dimostrare che l'integrale sul piccolo cerchio tende a zero.

La mia domanda comunque è la seguente...posso applicare i lemmi di jordan, del piccolo e del grande cerchio a curve circolari come in questo caso? perchè semplificherebbe di molto il calcolo
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Re: integrale improprio - teorema dei residui

Messaggioda Exodus » 23/10/2019, 13:34

qadesh ha scritto:Allora, vorrei risolverlo col metodo dei residui per cui andrò a considerare un opportuno percorso di integrazione.


Ti stai complicando la vita fratello...
Calcolo i poli (zeri del denominatore):

\(x^{2}+1=0\)
\(x=-j,+j\)

Mi interessa solo il $j$ positivo....

Adesso applico Jordan:

\(\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{\sqrt{x}}{x^{2}+1}dx=2\pi j\left ( \frac{e^{j\frac{\pi }{4}}}{2j} \right )=\frac{\pi }{\sqrt{2}}+j\frac{\pi }{\sqrt{2}}\)

:wink:
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Re: integrale improprio - teorema dei residui

Messaggioda dissonance » 23/10/2019, 17:30

Si, ma cosa significa \(\sqrt x\) se \(x\) è negativo? Nessuno si è posto questo problema?

@Exodus: va bene che la domanda è mal posta, ma in teoria quello dovrebbe essere un integrale reale. Tu trovi un risultato non reale, dovresti per lo meno fare un commento sulla cosa. Io, se fossi un professore, marcherei immediatamente 0 punti.
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Re: integrale improprio - teorema dei residui

Messaggioda qadesh » 23/10/2019, 17:54

aspettate, non bisogna applicare il taglio?

comunque, quello che non ho capito è:
1 - posso applicare il lemma di jordan su una curva nn semicircolare ma circolare?
2 - posso applicare il lemma sia al cerchio grande che a quello piccolo?

perchè la domanda è malposta?
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Re: integrale improprio - teorema dei residui

Messaggioda Exodus » 23/10/2019, 19:30

dissonance ha scritto:...dovresti per lo meno fare un commento sulla cosa. Io, se fossi un professore, marcherei immediatamente 0 punti.


Forse proprio per non prendere 0 non sono mai andato a scuola :P
Beh ,fattelo spiegare da un matematico, io sono compositore musicale mica un matematico :P
Comunque voleva la soluzione con il Lemma di Jordan e io ho semplicemente applicato tale lemma senza troppi fronzoli :wink:

Mi viene in mente un altra maniera di risolverlo:

\(\int_{0}^{\infty }\frac{x^{p-1}}{x^{q}+1}dx=\frac{\pi }{q}\frac{1}{sin\left ( p\frac{\pi }{q} \right )}\) con \(q>p>0\)

Sostituisco :

\(\int_{0}^{\infty }\frac{x^{\frac{3}{2}-1}}{x^{2}+1}dx=\frac{\pi }{2}\frac{1}{sin\left ( \frac{3\pi }{4} \right )}=\frac{\pi }{\sqrt{2}}\)
\(j\int_{-\infty }^{0 }\frac{\left | x \right |^{\frac{3}{2}+1}}{x^{2}+1}dx=j\frac{\pi }{2}\frac{1}{sin\left ( \frac{3\pi }{4} \right )}=j\frac{\pi }{\sqrt{2}}\)

Stesso risultato :wink:
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Re: integrale improprio - teorema dei residui

Messaggioda dissonance » 23/10/2019, 22:42

Si ragazzi ma che cosa state calcolando? Che cos'è la radice quadrata di un numero negativo?
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Re: integrale improprio - teorema dei residui

Messaggioda anto_zoolander » 23/10/2019, 23:29

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Re: integrale improprio - teorema dei residui

Messaggioda pilloeffe » 24/10/2019, 01:40

Ciao qadesh,
qadesh ha scritto:$\int_{\infty}^{\infty}\sqrt{x}/(x^2 +1)\text{d}x$

Credo che l'errore sia qui e, dando un'occhiata anche al cammino di integrazione che hai inizialmente proposto, tu sia in realtà interessato all'integrale seguente:

$ \int_{0}^{+\infty}\sqrt{x}/(x^2 +1)\text{d}x $

Quest'ultimo non è che un caso particolare del seguente:

$ \int_{0}^{+\infty}R(x) x^s \text{d}x = - \frac{\pi e^{-i\pi s}}{sin(\pi s)}\sum Res[R(x) x^s] $

ove nel caso in esame la funzione razionale $R(x) = 1/(x^2 + 1) $, $s = 1/2 $ e la somma è estesa ai residui della funzione $R(x) x^s $ relativi a tutte le sue singolarità polari, cioè ai poli di $R(x) $. Dopo qualche calcolo si ottiene il risultato seguente:

\begin{equation*}
\boxed{\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sqrt{x}}{x^2 +1} \text{d}x = \dfrac{\pi}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \pi}
\end{equation*}
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