Buongiorno,
@Indrjo Dedej è proprio quello che voglio dimostrare. Mi spiego meglio, riporto l'intera proposizione
Considerato un sistema di vettori $B$ di un sottoinsieme $X$ di vettori di uno spazio vettoriale $V(K)$, sono equivalenti le condizioni:
a) $B$ base di $X$
b) $B$ sistema linearmente indipendente massimale in $X$
c) $B$ sistema linearmente indipente di genetatori di $X$
d) $B$ sistema di generatori minimale di $X$
sul libro (@Bokonon Nicola Melone-Introduzione ai metodi dell'algebra lineare) viene proposta la seguente catena di implicazione
$a) to b) to c) to d) to a)$
ora vorrei provare a vedere se ce ne sono altre.
La definizione di base riportate sul libro è la seguente:
Si dice base o sistema linearmen indipendente di $V(K)$ ogni suo sistema linearmente indipendente di ordine massimo. La prima implicazione $a) to b) $, risulta essere $b) to a)$ per definizione di base.
La terza implicazione $c) to d) $, risulta essere $d) to c)$, ho provato cosi:
Dimostrazione per assurdo
Se fosse $B$ linearmente dipendente, allora esiste un vettore $mathbf{u_i}$ di $B$, quindi i vettori rimanenti di $B$ possono essere espressi come combinazione lineare del vettore $mathbf{u_i}$, ossia, il vettore $mathbf{u_i}$, dipende linearmente dal sistema $T=B-{mathbf{u_i}}$.
Quindi abbiamo
$T subseteq B to [T] subseteq [B]$
$B subseteq [T] to [B] subseteq [T]$
allora
$[T]=[B]$, cioè $[T]=X$
sono arrivato all'assurdità, essendo che $T$ è contenuto in un sistema di generatori di $X$.
Ora non sono sicuro se l'implicazione può esistere, e tanto meno qualora esistesse sia corretta la dimostrazione.