In R^4 con il prodotto euclideo standard e con coordinate (x, y, z, t), sia U ⊂ R4 il sottospazio vettoriale di equazione cartesiana $ x+y+z=0$ . Sia $ g:U->U $ la rotazione di $ π/3 $ intorno all’ asse $L = ((1, −1, 0, 0)) ⊂ U$. Determinare una base ortonormale $ B $ di $U$ tale che la matrice di $g$ rispetto a $B$ sia $ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1/2 , sqrt(3)/2 ),( 0 , -sqrt(3)/2 , 1/2 ) ) $.
Perdonate la banalità del problema, probabilmente mi sto incartando senza motivo.
L'idea è di trovare tre vettori ortonormali (e fin qui lo so fare) tali che il terzo sia il prodotto vettoriale tra il primo e il secondo (sono abbastanza sicuro di questa strada poiché ho scritto così negli appunti). Il problema è: so di poter fare il prodotto vettoriale tra vettori di spazi di dimensione 3 ($U$ in questo caso) ma non so come calcolarlo a livello pratico.