da gugo82 » 05/11/2019, 00:49
Il metodo che hai usato funziona per fare alcune cose (per pura fortuna), ma è abbastanza inutile per altre.
Prova invece così: come detto le rette $p$ che ti interessano giacciono sul piano per $P$ ortogonale ad $r$, che ha vettore normale uguale al vettore direzionale di $r$, ossia $mathbf(r)=(1,1,3)$; conseguentemente, i vettori direzionali $mathbf(p)=(l,m,n)$ delle rette ortogonali ad $r$ sono tali che $mathbf(r) * mathbf(p) = l+m+3n=0$, da cui $l=-m-3n$; dunque le equazioni parametriche di $p$ sono del tipo $\{(x = -(m+3n) t ), (y=m t), (z = 2+n t) :}$.
Avendo le equazioni di $p$ puoi farci ciò che vuoi…
Ad esempio, volendo determinare la retta $p$ incidente $s:\{(x=y), (y=z):}$ (quesito 1) basta imporre che il sistema $\{(-(m + 3n) t = m t), (m t = 2 + n t):} <=> \{((2m + 3n)t = 0), ((m - n) t = 2) :}$ nella sola incognita $t$ abbia un’unica soluzione: ciò si fa richiedendo che la matrice completa $((2m + 3n , 0), (m - n, 2))$ e la matrice dei coefficienti $((2m+3n),(m-n))$ abbiano rango $1$, il che equivale a $\{(2m + 3n =0), (m - n !=0):} <=> \{(m = -3/2 n), (n!=0):}$; una soluzione è $m=-3, n=2$, che implica $mathbf(p) =(-3, -3, 2)$, dunque $p:\{( x= -3 t), (y = -3t), (z = 2 + 2 t):}$ è la retta cercata (ed interseca $s$ nel punto corrispondente a $t=-2/5$ i.e. $Q=(6/5, 6/5, 6/5)$.
Analogamente, per trovare $p bot s$ (quesito 2) basta imporre la condizione di ortogonalità tra il vettore direzionale $mathbf(p) = (-m - 3n, m, n)$ di $p$ ed il vettore direzionale $mathbf(s)= (1, 1, 1)$ di $s$: ciò si fa richiedendo $mathbf(p) * mathbf(s) = -m-3n+m+n = 0$ ossia scegliendo $n=0$; fissando anche il parametro libero $m=1$, otteniamo $mathbf(p) = (-1, 1, 0)$ e $p:\{(x = -t), (y= t), (z=2):}$.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)