Ho corretto i "dollari".
(editando apposta).
con tale perimetro, (cioè non dico dove stanno i suoi vertici sui lati del dato triangolo [acutangolo] .
Trovo infatti le lunghezze dei lati del triangolino ignorando dove stanno i vertici (i quali vanno a posizionarsi "spontaneamente"
; tuo giusto rilievio] ... e lo metto dentro a "spoiler".
Il fatto è che la versione del quiz passato in "Rudi Mathematici" chiedeva proprio soltanto quanto valesse il perimetro del triangolo a perimetro minimo inscritto in un trìangolo di lati lunghi rispettivamente 17, 25, 26. Naturalmente il quiz meritava una generalizzazione, soprattutto per il fatto che l'idea dell'elastico m'è venuta per prima, per cui la risposta numerica l'ho calcolata come applicazione della suluzione generalizzata (per un triangolo acutangolo di lati di lunghezza [simbolica]
a,
b e
c)
Però ... nel testo che ho messo in
spoiler c'è spiegato un po' tyutto, e cioè:
• che i tre triangolini con un vertice in comune col triangolone
ABC ono tutti simili a questo;
• che i due angoli di inclinazione di due lati dell'elastico sul lato di ABC nel quale hanno un estremo comune sono uguali all'angolo opposo a quel lato di
ABC;
• che in ciascuno dei tre triangolini simili al triangolone il lato costituito dall'elastico è ricavabile dal lato che in ABC è opposto all'angolo in comune moltiplicandolo per il coseno di quell'angolo
• e (in fine) che dalla similitudine di tre triangoli col triangolone si ricavano facilmente TUTTE le lunghezze dei 9 segmenti.
Per esempio, considerando (nella mia figura che ripeto):
che le inclinazione di
FE e di
FD su
AB valgono γ (cioè quanto l'angolo opposto ad
AB, quello in C), iccome – come ho detto –
$u = a·cos(α)$ e $v= b·cos(β)$,
viene per forza
FA=$b·cos(α)$ e
BF[/Ii= $a·cos(β)$.
Guarda caso, questi valori sono proprio le proiezioni ortogonali dei latt di lunghezza [i]b ed
a su quello di lunghezza
c,
In altre parole
F è il piede delll'altezza di
ABC relativa ad
AB su
AB stesso.
[Analogamente si dica per D ed E].
Insomma: dove stanno i vdertici di
DEF non l'ho detto perché pensavo che non fosse richiesto. Ma da quanto si trova col metodo dell'elastico risulta subito (proprio in base a quanto ho detto esplicitamente).
Da notare che, come è indicato nella figura (in cui, come al solito, i simboli x, y e z rappresentano incognite), prima di calcolare le lunghezze
u,
v e
w, bisogna venir a conoscere
x =
AF,
y =
BD e
z =
CEche dànno i rapporti di proporzione rispettivamente di
AEF,
DBF e
DEC con
ABC.
Insomma: dove stanno i vertici D, E e F non è detto esplicitamente; ma tra le righe è detto quanto valgono i 6 segmenti individuati suui lati di
ABC dai vertici di
DEF.