Se la serie an diverge, determina il carattere delle seguenti serie

Messaggioda Nexus99 » 09/11/2019, 07:59

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Mie idee:

CON IL SIMBOLO DI SOMMATORIA INTENDERO' SERIE

∑ an diverge, ciò vuol dire che an o diverge, o converge a l ∈ ℝ, o è un infinitesimo di grado ≤ a 1/n oppure non ha limite

PRIMA SERIE:

Se la successione dei termini an diverge o tende ad l allora è chiaro che il lim n->∞ a(n)/(1+a(n)) non va a 0, dunque la serie diverge essendo a termini positivi. Se an->0 allora a(n)/(1+a(n)) ~ a(n)/1 e quindi per il criterio del confronto asintotico ∑ a(n)/(1+a(n)) diverge. Se la serie non ha limite lim n->∞ a(n)/(1+a(n)) non può convergere a 0 poichè 1 + a(n) rimane una successione con almeno 2 punti di accumulazione differenti. Dunque la serie non può che divergere in ogni caso

SECONDA SERIE: ovviamente n*a(n) non può mai dare luogo ad un infinitesimo. Se a(n)->0, lim a(n)/(1 + a(n)*n) è al massimo asintoticamente equivalente a a(n)/2, dunque la serie diverge. Nel caso in cui a(n) -> +oo o ad l, a(n)/(1 + a(n)*n) ~ 1/n, dunque per il criterio del confronto asintotico la serie diverge. Se a(n) non ha limite allora n*a(n) da luogo in ogni caso ad un infinito e lim n->∞ a(n)/(1+n*a(n)) può tendere a 0. In questo caso la serie può convergere. Esempio a(n) = 1 se n è un quadrato, a(n) = 1/n² se n non è un quadrato ==>∑a(n) = +∞, ∑a(n)/(1 + na(n)) < +∞

TERZA SERIE: Per confronto con la prima diverge

Ditemi se c'è qualcosa che non va o avete idee migliori
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Re: Se la serie an diverge, determina il carattere delle seguenti serie

Messaggioda Quinzio » 09/11/2019, 10:05

PRIMA SERIE:

Se la successione dei termini an diverge o tende ad l allora è chiaro che il lim n->∞ a(n)/(1+a(n)) non va a 0, dunque la serie diverge essendo a termini positivi. Se an->0 allora a(n)/(1+a(n)) ~ a(n)/1 e quindi per il criterio del confronto asintotico ∑ a(n)/(1+a(n)) diverge. Se la serie non ha limite lim n->∞ a(n)/(1+a(n)) non può convergere a 0 poichè 1 + a(n) rimane una successione con almeno 2 punti di accumulazione differenti. Dunque la serie non può che divergere in ogni caso


Il criterio del confronto asintotico lo troviamo qui ad esempio
https://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/serie-numeriche/733-criterio-del-confronto-asintotico-e-dell-ordine-di-infinitesimo.html

Poniamo per evitare confusioni:

$b_n = k_n$

$a_n = k_n/(1 + k_n)$

$lim_{n -> oo} a_n / b_n = lim_{n -> oo} 1/(1+ k_n) $

Se $k_n = n$, la serie diverge, ma il limite del criterio e' 0, e quindi il criterio del confronto asintotico non porta a nessuna conclusione.
Nessuno dei casi della pagina che ho linkato e' soddisfatto.

Quello che voglio dire e' che siccome sappiamo solo che la serie degli $a_n$ diverge bisogna generalizzare il piu' possibile i casi da considerare.
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Re: Se la serie an diverge, determina il carattere delle seguenti serie

Messaggioda Nexus99 » 09/11/2019, 13:11

Umm capito. Un'idea per migliorare la mia dimostrazione quindi? Inoltre non sono sicuro della mia dimostrazione nei casi in cui a(n) è indeterminata, cosa ne pensate?
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Re: Se la serie an diverge, determina il carattere delle seguenti serie

Messaggioda Quinzio » 09/11/2019, 15:50

Niente di speciale.
I ragionamenti li fai, pero' sembra tutto un po' frettoloso e poco rigoroso, della serie "ho intuito che la serie diverge ci ricamo sopra una dimostrazione piu' o meno valida".
No, e' il contrario, va bene l'intuizione, ma poi lo dimostro rigorosamente per vedere se la mia intuizione e' vera.

Per il primo esempio, separerei i casi con
1.
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = +\infty \]
allora
\[ \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1 + a_n} = 1 \]
\[ \sum \frac{a_n}{1 + a_n} = +\infty \]
2.
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = l \in \mathbb R \]
allora usando il criterio del confronto asintotico
\[ \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1 + a_n}\frac{1}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{1 + a_n} \in (0, \infty) \]
per cui si ricade nel caso 1) spiegato qui:
https://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/serie-numeriche/733-criterio-del-confronto-asintotico-e-dell-ordine-di-infinitesimo.html
\[ \sum \frac{a_n}{1 + a_n} = +\infty \]
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Re: Se la serie an diverge, determina il carattere delle seguenti serie

Messaggioda Nexus99 » 10/11/2019, 08:36

Ho capito, grazie dell'aiuto.
Che ne pensi invece di quando a(n) non ha limite? ho ragionato bene?
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Re: Se la serie an diverge, determina il carattere delle seguenti serie

Messaggioda Rigel » 10/11/2019, 20:31

Come hai già notato, in generale non si hanno informazioni sull'esistenza del limite di \((a_n)\).

1. L'intuizione ti dice che la serie di termine generale \(b_n := a_n / (1+a_n)\) è divergente.
Supponi per assurdo che sia convergente. Allora \(b_n \to 0\) (condizione necessaria di convergenza), quindi anche \(a_n \to 0\) (basta osservare che, se \(b_n \neq 1\), allora \(a_n = b_n / (1-b_n)\)).
Definitivamente si ha quindi \(0\leq a_n \leq 1\), da cui segue
\[
b_n \geq \frac{a_n}{2} \qquad \text{definitivamente}.
\]
Di conseguenza anche \(\sum b_n\) è divergente, per il criterio del confronto per serie a termini non negativi.

2. Qui il ragionamento intuitivo porterebbe a concludere che la serie di termine generale \(c_n = a_n / (1 + n a_n)\) è convergente.
Infatti, se \(n a_n \to 0\), allora \(c_n \sim a_n\); se \(n a_n \to +\infty\), allora \(c_n \sim 1/n\); se \(n a_n \to c > 0\), allora \(b_n \to a_n /(1+c)\). In ciascuno di questi casi si avrebbe \(\sum c_n\) divergente.
Tuttavia, se scegli
\[
a_n =
\begin{cases}
1, & \text{se}\ n = 2^k,\\
0, & \text{altrimenti},
\end{cases}
\]
si ha che \(\sum c_n = \sum_k \frac{1}{1+2^k}\) è convergente.

3. Hai già risposto tu.
Rigel
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