limiti ad infinito di funzioni irrazionali in forma indeterminata

Messaggioda andrea.cravotta » 08/11/2019, 18:04

salve a tutti. sono un docente di matematica in un liceo, e pensando alle lezioni che terrò nei prossimi giorni mi è sorto un dubbio che spero di risolvere qui, in modo da poter poi riferire nozioni più corrette possibile ai miei studenti.
il dubbio riguarda i limiti ad infinito di funzioni contenenti espressioni irrazionali che portano verso forme indeterminate.
come si sa la prassi vuole che tali limiti si risolvano solitamente per via algebrica "razionalizzando" l'espressione della funzione. ad esempio, nel calcolare $ lim_(x -> -\infty)(\sqrt(x^2 + x + 1)+ x) $ normalmente si moltiplica per $ \frac{\sqrt(x^2+x+1)-x}{\sqrt(x^2+x+1)-x} $ in modo da ottenere un'espressione che non porti a forme indeterminate. non scrivo tutti i passaggi, ma così facendo si arriva ad un valore pari a $-\frac{1}{2}$.
il metodo funziona, chiaro, ma è macchinoso e di difficile digestione da parte degli studenti.
quello che mi chiedo è perchè invece non funzioni, in una situazione come questa, quel teorema che afferma che ad infinito i polinomi si comportano come i loro termini con esponente più alto.
se lo applicassi qui otterrei $ lim_(x -> -\infty)(\sqrt(x^2 + x + 1)+x)=lim_(x -> -\infty)(\sqrt(x^2)+x)=lim_(x -> -\infty)(-x+x)=0 $ ossia un valore differente da quello ottenuto con la razionalizzazione. credendo fermamente nel teorema di unicità del limite, mi fido della prassi e penso che il valore 0 sia errato, ma mi sfugge il perchè...
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Re: limiti ad infinito di funzioni irrazionali in forma indeterminata

Messaggioda @melia » 08/11/2019, 19:48

Non funziona perché non sono due polinomi, ma è una differenza tra due forme $sqrt(x^2+x+1)$ e $x$ con lo stesso ordine di infinito, la loro differenza genera una forma indeterminata $+oo - oo$.
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Re: limiti ad infinito di funzioni irrazionali in forma indeterminata

Messaggioda alessio76 » 08/11/2019, 21:02

andrea.cravotta ha scritto:salve a tutti. sono un docente di matematica in un liceo, e pensando alle lezioni che terrò nei prossimi giorni mi è sorto un dubbio che spero di risolvere qui, in modo da poter poi riferire nozioni più corrette possibile ai miei studenti.
il dubbio riguarda i limiti ad infinito di funzioni contenenti espressioni irrazionali che portano verso forme indeterminate.
come si sa la prassi vuole che tali limiti si risolvano solitamente per via algebrica "razionalizzando" l'espressione della funzione. ad esempio, nel calcolare $ lim_(x -> -\infty)(\sqrt(x^2 + x + 1)+ x) $ normalmente si moltiplica per $ \frac{\sqrt(x^2+x+1)-x}{\sqrt(x^2+x+1)-x} $ in modo da ottenere un'espressione che non porti a forme indeterminate. non scrivo tutti i passaggi, ma così facendo si arriva ad un valore pari a $-\frac{1}{2}$.
il metodo funziona, chiaro, ma è macchinoso e di difficile digestione da parte degli studenti.
quello che mi chiedo è perchè invece non funzioni, in una situazione come questa, quel teorema che afferma che ad infinito i polinomi si comportano come i loro termini con esponente più alto.
se lo applicassi qui otterrei $ lim_(x -> -\infty)(\sqrt(x^2 + x + 1)+x)=lim_(x -> -\infty)(\sqrt(x^2)+x)=lim_(x -> -\infty)(-x+x)=0 $ ossia un valore differente da quello ottenuto con la razionalizzazione. credendo fermamente nel teorema di unicità del limite, mi fido della prassi e penso che il valore 0 sia errato, ma mi sfugge il perchè...


Ti è già stato risposto correttamente, comunque se provassi ad applicare l'idea della dimostrazione del risultato che citi vedresti che si ricade in un'altra forma di indecisione:
per $x<0:$ $\sqrt(x^2 + x + 1)+ x =-x(\sqrt(1 + 1/x + 1/x^2)-1)$
che ti dà la FI $0\cdot \infty$...
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Re: limiti ad infinito di funzioni irrazionali in forma indeterminata

Messaggioda andrea.cravotta » 09/11/2019, 07:29

@melia ha scritto:Non funziona perché non sono due polinomi, ma è una differenza tra due forme $sqrt(x^2+x+1)$ e $x$ con lo stesso ordine di infinito, la loro differenza genera una forma indeterminata $+oo - oo$.


grazie mille.
e per rendere generale la questione, è possibile dire che espressioni con lo stesso ordine di infinito sono semplificabili (nel calcolo del limite) a 1 quando se ne calcola il rapporto ma non a 0 quando ne calcoliamo la differenza?
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Re: limiti ad infinito di funzioni irrazionali in forma indeterminata

Messaggioda andrea.cravotta » 09/11/2019, 07:33

alessio76 ha scritto:
[...]

Ti è già stato risposto correttamente, comunque se provassi ad applicare l'idea della dimostrazione del risultato che citi vedresti che si ricade in un'altra forma di indecisione:
per $x<0:$ $\sqrt(x^2 + x + 1)+ x =-x(\sqrt(1 + 1/x + 1/x^2)-1)$
che ti dà la FI $0\cdot \infty$...


ineccepibile e tecnicamente comprensibile. e lo è anche generalizzando ad ogni situazione di sottrazione di espressioni di questo tipo, in cui la parte irrazionale ha lo stesso ordine del polinomio, il che mi aiuta a spiegare la cosa agli studenti. grazie mille!
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Re: limiti ad infinito di funzioni irrazionali in forma indeterminata

Messaggioda andrea.cravotta » 09/11/2019, 07:38

@melia ha scritto:Non funziona perché non sono due polinomi, ma è una differenza tra due forme $sqrt(x^2+x+1)$ e $x$ con lo stesso ordine di infinito, la loro differenza genera una forma indeterminata $+oo - oo$.


scusa, ma ho poi trovato la risposta (che in effetti, come mi hai fatto notare, sta nella differenza tra "essere uguali" e "avere lo stesso ordine"). anche nel rapporto due espressioni dello stesso ordine non sono semplificabili perchè il loro rapporto è si una costante ma non è 1. comunque ancora grazie, ora ho delle informazioni chiare e inequivocabili da dare ai miei studenti.
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Re: limiti ad infinito di funzioni irrazionali in forma indeterminata

Messaggioda andrea.cravotta » 09/11/2019, 08:31

scusate se continuo a rispondermi da solo, ma mentre aspettavo che i moderatori controllino i miei messaggi precedenti stavo continuando a ragionare sulla questione di come porre la questione, e vorrei avere una rassicurazione da parte di chi legge del fatto che quello che dico (e dirò poi ai miei studenti ;) ) sia effettivamente corretto e generale.
quando abbiamo il limite della differenza tra due infiniti dello stesso ordine $(f(x)$ e $g(x))$ , possiamo sempre scriverlo come $ lim(f(x)-g(x)) = lim (f(x)(1-\frac{g(x)}{f(x)})) $ da cui si capisce che il risultato sarà una costante solo se il limite del rapporto sarà uno (ed è anche il caso più difficile, in quanto ci porta alla forma di indecisione $ \infty \cdot 0 $ ), mentre negli altri casi avrò ancora il "dominare" di una delle due funzioni, anche nel caso in cui siano dello stesso ordine.
curiosità: questo non porta a definire una sorta di equivalenza più stringente, tra infiniti che hanno lo stesso ordine e che hanno rapporto (nell'intorno che stiamo considerando nel calcolare i loro limiti) esattamente uguale a uno? e di conseguenza un sotto-ordine che separa gli infiniti dello stesso ordine in base al fatto che il loro rapporto sia un numero reale maggiore o minore di uno?
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Re: limiti ad infinito di funzioni irrazionali in forma indeterminata

Messaggioda Bokonon » 09/11/2019, 15:27

andrea.cravotta ha scritto:$ lim(f(x)-g(x)) = lim (f(x)(1-\frac{g(x)}{f(x)})) $ da cui si capisce che il risultato sarà una costante solo se il limite del rapporto sarà uno (ed è anche il caso più difficile, in quanto ci porta alla forma di indecisione $ \infty \cdot 0 $ )

Appunto è una forma indeterminata quindi non sai se ha un limite o meno in generale.
Come fai ad affermare che sarà una costante? Non puoi.
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