Mie idee:
CON IL SIMBOLO DI SOMMATORIA INTENDERO' SERIE
∑ an diverge, ciò vuol dire che an o diverge, o converge a l ∈ ℝ, o è un infinitesimo di grado ≤ a 1/n oppure non ha limite
PRIMA SERIE:
Se la successione dei termini an diverge o tende ad l allora è chiaro che il lim n->∞ a(n)/(1+a(n)) non va a 0, dunque la serie diverge essendo a termini positivi. Se an->0 allora a(n)/(1+a(n)) ~ a(n)/1 e quindi per il criterio del confronto asintotico ∑ a(n)/(1+a(n)) diverge. Se la serie non ha limite lim n->∞ a(n)/(1+a(n)) non può convergere a 0 poichè 1 + a(n) rimane una successione con almeno 2 punti di accumulazione differenti. Dunque la serie non può che divergere in ogni caso
SECONDA SERIE: ovviamente n*a(n) non può mai dare luogo ad un infinitesimo. Se a(n)->0, lim a(n)/(1 + a(n)*n) è al massimo asintoticamente equivalente a a(n)/2, dunque la serie diverge. Nel caso in cui a(n) -> +oo o ad l, a(n)/(1 + a(n)*n) ~ 1/n, dunque per il criterio del confronto asintotico la serie diverge. Se a(n) non ha limite allora n*a(n) da luogo in ogni caso ad un infinito e lim n->∞ a(n)/(1+n*a(n)) può tendere a 0. In questo caso la serie può convergere. Esempio a(n) = 1 se n è un quadrato, a(n) = 1/n² se n non è un quadrato ==>∑a(n) = +∞, ∑a(n)/(1 + na(n)) < +∞
TERZA SERIE: Per confronto con la prima diverge
Ditemi se c'è qualcosa che non va o avete idee migliori