Condensatore a facce piane e parallele, densità di carica?

[iTz_Ovah]

Salve, vi propongo un dubbio che mi sta affliggendo; premetto che si parla di un condensatore a facce piane e parallele in cui le due armature hanno entrambe una superficie $S$ e sono poste una di fronte all'altra separate da una distanza $d$. Ci si propone di calcolare il campo elettrico tra le due armature sotto l'approssimazione di considerare le armature come dei piani infiniti, ovvero il campo elettrico prodotto da un'armatura è in ogni punto come quello prodotto da un piano infinito (i.e. S è comunque finito) e trascuriamo gli effetti di bordo.

Una delle prime cose che vengono proposte è che in prossimità dell'armatura il campo elettrico sarà normale a taluna. Ora, so bene dagli esercizi che il campo elettrico dovuto ad un piano infinito uniformemente carico con densità $\sigma$ è $\vec{E} = \frac{sigma}{2\epsilon_0}\idehat{u}_N$ dove $\idehat{u}_N$ è il versore normale al piano (uscente se $\sigma > 0$ entrante altrimenti). In generale comunque se il piano non è uniformemente carico non ritengo che continui ad essere vero che il campo elettrico sia in direzione perpendicolare al piano e quindi qui stiamo implicando che nella situazione ideale in cui lavoriamo le due piastre si caricano uniformemente. A priori questo fatto non mi sembra così banale, quindi c'è modo di dimostrare in maniera formale (con qualche forma di ragionamento qualitativo eventualmente) questa cosa oppure è semplicemente qualcosa di cui prendiamo atto dall'esperienza pratica?

Grazie in anticipo.

[Quinzio]

E' l'unica configurazione stabile.
Ad esempio anche in una sfera conduttiva le cariche si dispongono in maniera uniforme sulla superficie esterna.
Se cosi' non fosse, si creerebbero delle forze repulsive nelle zone in cui le cariche sono maggiormente concentrate, forze che le spingerebbero verso le zone meno dense, fino a raggiungere l'equilibrio.

[RenzoDF]

... In generale comunque se il piano non è uniformemente carico non ritengo che continui ad essere vero che il campo elettrico sia in direzione perpendicolare al piano e quindi qui stiamo implicando che nella situazione ideale in cui lavoriamo le due piastre si caricano uniformemente. ...

Esatto, che in ogni punto delle armature, il campo sia perpendicolare alle stesse e la densità di carica sia costante è un'approssimazione, valida in pratica solo per i condensatori che presentano una distanza fra le armature piccola rispetto alle loro dimensioni¹; questo è in generale vero (con le dovute cautele) per gran parte dei condensatori commerciali, e permette di usare per la capacità una relazione molto semplice² ma, in generale, dal punto di vista della fisica teorica, il discorso sarebbe molto più complesso, e un calcolo che vada a tenere conto della reale distribuzione associata alla limitata estensione delle armature sarebbe molto complesso in quanto andrebbe a coinvolgere gli integrali ellittici, di conseguenza, per il calcolo della distribuzione spaziale del campo, della carica, e della capacità, in geometrie che non permettono la suddetta semplificazione, si usano normalmente i metodi numerici agli elementi finiti.

---

Note

1. Condizione che permette di trascurare gli effetti di bordo. ↑
2. Per i condensatori ad armature piane e parallele; se poi parallele non sono, il discorso si complica ugualmente. ↑

[RenzoDF]

Visto che piove, ne approfitto per farti vedere via simulazione agli elementi finiti (FEMM) bidimensionale, l'andamento del campo e delle superfici equipotenziali in un condensatore ad armature piane e parallele



e della distribuzione della densità di carica sull'armatura



con la classica forma a "vasca da bagno".

Usando la relazione semplificata

$C=\epsilon_0 A/d\approx 4.4 \ \text{pF}$

mentre la simulazione fornisce

$C\approx 5.8 \ \text{pF}$

[Gabrio]

Be il campo rimane uniforme comunque, con poco effetto di bordo

[RenzoDF]

Poco non direi, dai un occhio alla differenza fra le due capacità.

[Gabrio]

vero... guardavo il disegno..... ma in genere non so quali sono i valori standard ai bordi
Cavolo non poco 4,4 e 5,8 bella botta

[RenzoDF]

Beh, ovviamente dipende da come si modella l’armatura e io in quel caso, per far prima, la ho modellata con un semplice piano, che può andar bene nel caso di metallizzazione del dielettrico; diversa sarebbe stata la distribuzione nel caso la avessi dotata di uno spessore e di un bordo arrotondato.

[iTz_Ovah]

Wow grazie mille per le risposte, ne farò veramente tesoro. Apprezzo molto la completezza!

PS: Guardando il grafico che mi hai postato per l'andamento della densità di carica nell'asse delle ascisse è riportata una lunghezza, ma a cosa si riferisce esattamente? Grazie.

[Gabrio]

E' la lunghezza delle piastre