$X$ insieme e $Y \subseteq X$. In "quanti modi" si può immergere $Sym(Y)$ in $Sym(X)$?

Messaggioda luca69 » 09/11/2019, 13:17

Siano $X$ insieme e $Y \subseteq X$. Data una biiezione $u$ su $X \setminus Y$, ogni biiezione $\alpha$ su $Y$ può essere estesa ad una biiezione $\varphi_u(\alpha)$ su $X$ mediante:
\begin{alignat*}{1}
&\varphi_u(\alpha)_{|Y}:=\alpha \\
&\varphi_u(\alpha)_{|X \setminus Y}:=u \\
\end{alignat*}
Noto che $\varphi_u(\alpha)=\varphi_u(\beta) \Rightarrow \varphi_u(\alpha)_{|Y}=\varphi_u(\beta)_{|Y} \Rightarrow \alpha=\beta$, per cui $\varphi_u$ è iniettiva per ogni $u \in Sym(X \setminus Y)$. Invece,
$$\varphi_u(\alpha\beta)=\varphi_u(\alpha)\varphi_u(\beta) \Longleftrightarrow u=\iota_{X \setminus Y} \tag 1$$
Quindi, fra tutte le $\varphi_u$, solo $\varphi_{\iota_{X \setminus Y}}$ è un'immersione di $Sym(Y)$ in $Sym(X)$. Questa mi sembra, per così dire, l'"immersione naturale".

Vi sono altri modi per immergere $Sym(Y)$ in $Sym(X)$?
luca69
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 98 di 106
Iscritto il: 14/06/2017, 12:44

Re: $X$ insieme e $Y \subseteq X$. In "quanti modi" si può immergere $Sym(Y)$ in $Sym(X)$?

Messaggioda Martino » 09/11/2019, 22:05

Sì ci sono moltissimi modi. Solo i casi in cui $|X|-|Y|$ è molto piccolo danno una classificazione ragionevole delle immersioni. Per esempio $S_n$ si immerge in $S_(n+1)$ solo nei modi canonici per $n$ diverso da $5$.

Ma se X e Y hanno cardinalità molto lontane tra loro non c'è speranza di caratterizzare le immersioni.
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.
Avatar utente
Martino
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 7457 di 7459
Iscritto il: 21/07/2007, 10:48
Località: Brasilia

Re: $X$ insieme e $Y \subseteq X$. In "quanti modi" si può immergere $Sym(Y)$ in $Sym(X)$?

Messaggioda Alin » 10/11/2019, 09:32

Ciao luca69, mi potresti per piacere far vedere un esempio concreto utilizzando la tua dimostrazione
nel caso
$X=ZZ$ insieme e $NN⊆Z$.
Data una biiezione $u$ su $ZZ \\ NN$, ogni biiezione $α$ su $NN$ può essere estesa ad una biiezione $φ_u(α)$ su $ZZ$....
Alin
New Member
New Member
 
Messaggio: 55 di 59
Iscritto il: 05/10/2017, 14:33

Re: $X$ insieme e $Y \subseteq X$. In "quanti modi" si può immergere $Sym(Y)$ in $Sym(X)$?

Messaggioda luca69 » 10/11/2019, 14:58

Ciao,

ad esempio, $\varphi_{\iota_{ZZ \setminus NN}}(\iota_NN)=\iota_ZZ$: infatti, la funzione identica di $NN$ si può estendere a $ZZ$ associando ad ogni intero negativo o nullo l'intero stesso (in pratica, "congiungi" tra di loro le due funzioni identiche, di $NN$ e di $ZZ \setminus NN$, e ottieni la funzione identica di $ZZ$).

Come esempio meno banale di biiezione su $NN$ (cioè diversa da $\iota_{NN}$) si può prendere un sottoinsieme finito $I:=\{i_1,...,i_r\} \subseteq NN$ e una permutazione $\sigma$ che fissa tutti i naturali ad eccezione degli elementi di $I$. Lo stesso si può fare con gli interi negativi. Se ora "congiungiamo" le due permutazioni tra di loro mediante una funzione $\beta$ definita sul solo $0$ da $\beta(0)=0$, dovremmo ottenere una biiezione su tutto $ZZ$.
luca69
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 99 di 106
Iscritto il: 14/06/2017, 12:44

Re: $X$ insieme e $Y \subseteq X$. In "quanti modi" si può immergere $Sym(Y)$ in $Sym(X)$?

Messaggioda luca69 » 11/11/2019, 11:42

Martino ha scritto:Per esempio $S_n$ si immerge in $S_(n+1)$ solo nei modi canonici per $n$ diverso da $5$.

L'unica immersione che mi viene in mente è $f: S_n rightarrow S_{n+1}$, $\alpha \mapsto \sigma$, definita da:
\begin{alignat*}{1}
i \in \{1,...,n\} \Rightarrow \sigma(i)&:=\alpha(i) \\
i =n+1 \Rightarrow \sigma(i)&:=n+1
\end{alignat*}
Ma vedo che usi il plurale, quindi mi chiedevo quali altre ("canoniche") si possono costruire (forse con le potenze di $\alpha$ fino al suo ordine?). Inoltre, mi incuriosisce la particolarità del caso $n=5$: puoi dirmi di più?

Grazie
luca69
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 100 di 106
Iscritto il: 14/06/2017, 12:44

Re: $X$ insieme e $Y \subseteq X$. In "quanti modi" si può immergere $Sym(Y)$ in $Sym(X)$?

Messaggioda Martino » 11/11/2019, 13:32

In due parole: se hai un'immersione puoi coniugare per trovarne altre. Mi spiego meglio.

Se $Y_1$ e $Y_2$ sono sottoinsiemi di $X$ della stessa cardinalità allora $Sym(Y_1)$ e $Sym(Y_2)$ sono gruppi isomorfi (facile esercizio). Quindi hai un'immersione canonica di $Sym(Y)$ in $Sym(X)$ semplicemente sostituendo $Y$ con un sottoinsieme di $X$ della stessa cardinalità di $Y$.

Più in generale, se hai un'immersione $f:H to G$ puoi costruirne molte altre tramite il coniugio: fissato $g in G$ definisci $f_g:H to G$ da $h to gf(h)g^{-1}$. Più in generale se $phi$ è un isomorfismo $G to G$ e $f:H to G$ è un'immersione allora puoi costruire un'altra immersione componendo $f$ con $phi$: $H to G$, $h to phi(f(h))$. Nel caso dei gruppi simmetrici la cosa è intuitiva (l'ho spiegata sopra), e in particolare $S_n$ si immerge in $S_{n+1}$ in almeno $n+1$ modi, dati dalla scelta del punto fissato da $S_n$ (di nuovo, la spiegazione formale la trovi qui sopra nel primo paragrafo).

Nel caso di $n=5$ oltre alle $6$ immersioni canoniche $S_5 to S_6$ ci sono altre $6$ immersioni (cioè una immersione, a meno di coniugio) essenzialmente distinte date dal fatto seguente. $S_5$ ha sei $5$-sottogruppi di Sylow. Sia $R$ l'insieme dei sei $5$-Sylow di $S_5$. Allora $S_5$ agisce su $R$ per coniugio in modo transitivo (per il teorema di Sylow) e la rappresentazione permutazionale associata $S_5 to Sym(R) cong S_6$ è un omomorfismo iniettivo, cioè un'immersione di $S_5$ in $S_6$. Siccome è un'immersione la cui immagine agisce transitivamente sui sei oggetti, non può essere associata a nessuna delle sei immersioni canoniche (perché le immagini delle immersioni canoniche non agiscono transitivamente).

Si può dimostrare (ma non è facilissimo) che se $n ne 6$ allora le uniche immersioni di $S_{n-1}$ in $S_n$ sono quelle canoniche (a meno di comporre con isomorfismi $S_{n-1} to S_{n-1}$).
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.
Avatar utente
Martino
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 7458 di 7459
Iscritto il: 21/07/2007, 10:48
Località: Brasilia

Re: $X$ insieme e $Y \subseteq X$. In "quanti modi" si può immergere $Sym(Y)$ in $Sym(X)$?

Messaggioda luca69 » 12/11/2019, 12:05

Grazie Martino. Provo a rielaborare un po', non sono cose immediate per me.

Martino ha scritto:Se $ Y_1 $ e $ Y_2 $ sono sottoinsiemi di $ X $ della stessa cardinalità allora $ Sym(Y_1) $ e $ Sym(Y_2) $ sono gruppi isomorfi (facile esercizio).

Questo l'ho svolto così:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
$Y_1, Y_2$ insiemi; $f: Y_1 \rightarrow Y_2$ biiezione. Definisco la funzione:

\begin{alignat*}{2}
\varphi^{(f)}:\operatorname{Sym}(Y_1)&\longrightarrow& \operatorname{Sym}(Y_2)\\
\sigma&\longmapsto& \varphi_\sigma^{(f)}:Y_2 &\longrightarrow Y_2 \\
&&y&\longmapsto \varphi_\sigma^{(f)}(y):=(f\sigma f^{-1})(y)
\end{alignat*}

La funzione $ \varphi_\sigma^{(f)}:=f\sigma f^{-1}$ è effettivamente una biiezione su $Y_2$, in quanto composizione di una biiezione di $Y_2$ in $Y_1$ ($f^{-1}$), di una biiezione su $Y_1$ ($\sigma$) e di una biiezione di $Y_1$ in $Y_2$ ($f$).

Poi, $\varphi_{\sigma\tau}^{(f)}=f\sigma\tau f^{-1}=f\sigma(\iota_{Y_1})\tau f^{-1}=f\sigma (f^{-1}f)\tau f^{-1}=(f\sigma f^{-1})(f\tau f^{-1})=\varphi_\sigma^{(f)}\varphi_\tau^{(f)}$, per cui $\varphi^{(f)}$ è omomorfismo di gruppi. Inoltre, $\varphi_\sigma^{(f)}=\varphi_\tau^{(f)} \Rightarrow f(\sigma(f^{-1}(y)))=f(\tau(f^{-1}(y))), \forall y \in Y_2 \Rightarrow$ $\sigma(f^{-1}(y))=\tau(f^{-1}(y)), \forall y \in Y_2 \Rightarrow$ $\sigma(x)=\tau(x), \forall x \in Y_1 \Rightarrow \sigma=\tau$, per cui $\varphi^{(f)}$ è iniettiva. Infine, $\forall \alpha \in Sym(Y_2)$, risulta $\alpha=\varphi_{f^{-1}\alpha f}^{(f)}$, per cui $\varphi^{(f)}$ è anche suriettiva e quindi, in definitiva, isomorfismo di gruppi: $\Sym(Y_1) \cong Sym(Y_2)$.


Martino ha scritto:Quindi hai un'immersione canonica di $ Sym(Y) $ in $ Sym(X) $ semplicemente sostituendo $ Y $ con un sottoinsieme di $ X $ della stessa cardinalità di $ Y $.


Questo lo intendo così: se $\psi$ è un'immersione di $Sym(Y_2)$ in $Sym(X)$, allora - con le notazioni in spoiler - $\psi\varphi^{(f)}$ è un'immersione di $Sym(Y_1)$ in $Sym(X)$, in quanto composizione di un omomorfismo iniettivo di $Sym(Y_2)$ in $Sym(X)$ dopo un isomorfismo di $Sym(Y_1)$ in $Sym(Y_2)$.

Martino ha scritto:Più in generale, se hai un'immersione $ f:H to G $ puoi costruirne molte altre tramite il coniugio: fissato $ g in G $ definisci $ f_g:H to G $ da $ h to gf(h)g^{-1} $.

Che rapporto c'è tra le immagini delle varie immersioni così costruite? In particolare, cosa possiamo dire su $gf(H)g^{-1} \cap \tilde gf(H)\tilde g^{-1}$, dati $g,\tilde g \in G$?

Martino ha scritto:Più in generale se $ phi $ è un isomorfismo $ G to G $ e $ f:H to G $ è un'immersione allora puoi costruire un'altra immersione componendo $ f $ con $ phi $: $ H to G $, $ h to phi(f(h)) $.

Questo mi fa generalizzare anche la domanda precedente: che rapporto c'è tra le immagini delle varie immersioni così costruite? In particolare, cosa possiamo dire su $\phi(f(H)) \cap \tilde \phi(f(H))$, dati $\phi,\tilde \phi \in Aut(G)$?

Martino ha scritto:in particolare $ S_n $ si immerge in $ S_{n+1} $ in almeno $ n+1 $ modi, dati dalla scelta del punto fissato da $ S_n $

Posto $I_r:=\{1,...,n+1\} \setminus \{r\}, r=1,...,n+1$, le applicazioni $i_r: S_{I_r} (\cong S_n) \rightarrow S_{n+1}, \alpha \mapsto \sigma$, definite da:
\begin{alignat*}{1}
i \in I_r \Rightarrow &\sigma(i)=\alpha(i) \\
i=r \Rightarrow &\sigma(i)=r
\end{alignat*}
sono $n+1$ immersioni: possiamo comunque dire "di $S_n$ in $S_{n+1}$"? Lo chiedo perchè in realtà $I_r=\{1,...,n\}$ solo per $r=n+1$.

Il resto (caso $n=5$) è un po' troppo "oltre" per me ora, ma ci tornerò. Grazie.
luca69
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 102 di 106
Iscritto il: 14/06/2017, 12:44

Re: $X$ insieme e $Y \subseteq X$. In "quanti modi" si può immergere $Sym(Y)$ in $Sym(X)$?

Messaggioda Martino » 12/11/2019, 19:02

Sì giusto.
luca69 ha scritto:che rapporto c'è tra le immagini delle varie immersioni così costruite? In particolare, cosa possiamo dire su $\phi(f(H)) \cap \tilde \phi(f(H))$, dati $\phi,\tilde \phi \in Aut(G)$?
Rispondere in generale è impraticabile, perché stiamo parlando di situazioni estremamente generali. Nel caso particolare di $Sym(Y_1) nn Sym(Y_2)$ tale intersezione consiste delle permutazioni $g in Sym(X)$ che stabilizzano sia $Y_1$ che $Y_2$.
possiamo comunque dire "di $S_n$ in $S_{n+1}$"? Lo chiedo perchè in realtà $I_r=\{1,...,n\}$ solo per $r=n+1$.
Certo, l'importante è capirsi.
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.
Avatar utente
Martino
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 7459 di 7459
Iscritto il: 21/07/2007, 10:48
Località: Brasilia

Re: $X$ insieme e $Y \subseteq X$. In "quanti modi" si può immergere $Sym(Y)$ in $Sym(X)$?

Messaggioda luca69 » 12/11/2019, 20:01

Ok, grazie.
luca69
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 104 di 106
Iscritto il: 14/06/2017, 12:44


Torna a Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Chi c’è in linea

Visitano il forum: AdsBot [Google], Alin e 22 ospiti