Condensatore a facce piane e parallele, densità di carica?

Messaggioda iTz_Ovah » 08/11/2019, 00:20

Salve, vi propongo un dubbio che mi sta affliggendo; premetto che si parla di un condensatore a facce piane e parallele in cui le due armature hanno entrambe una superficie $S$ e sono poste una di fronte all'altra separate da una distanza $d$. Ci si propone di calcolare il campo elettrico tra le due armature sotto l'approssimazione di considerare le armature come dei piani infiniti, ovvero il campo elettrico prodotto da un'armatura è in ogni punto come quello prodotto da un piano infinito (i.e. S è comunque finito) e trascuriamo gli effetti di bordo.

Una delle prime cose che vengono proposte è che in prossimità dell'armatura il campo elettrico sarà normale a taluna. Ora, so bene dagli esercizi che il campo elettrico dovuto ad un piano infinito uniformemente carico con densità $\sigma$ è $\vec{E} = \frac{sigma}{2\epsilon_0}\idehat{u}_N$ dove $\idehat{u}_N$ è il versore normale al piano (uscente se $\sigma > 0$ entrante altrimenti). In generale comunque se il piano non è uniformemente carico non ritengo che continui ad essere vero che il campo elettrico sia in direzione perpendicolare al piano e quindi qui stiamo implicando che nella situazione ideale in cui lavoriamo le due piastre si caricano uniformemente. A priori questo fatto non mi sembra così banale, quindi c'è modo di dimostrare in maniera formale (con qualche forma di ragionamento qualitativo eventualmente) questa cosa oppure è semplicemente qualcosa di cui prendiamo atto dall'esperienza pratica?

Grazie in anticipo.
iTz_Ovah
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 201 di 204
Iscritto il: 17/01/2017, 16:57

Re: Condensatore a facce piane e parallele, densità di carica?

Messaggioda Quinzio » 08/11/2019, 05:41

E' l'unica configurazione stabile.
Ad esempio anche in una sfera conduttiva le cariche si dispongono in maniera uniforme sulla superficie esterna.
Se cosi' non fosse, si creerebbero delle forze repulsive nelle zone in cui le cariche sono maggiormente concentrate, forze che le spingerebbero verso le zone meno dense, fino a raggiungere l'equilibrio.
Quinzio
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 4355 di 4367
Iscritto il: 24/08/2010, 06:50

Re: Condensatore a facce piane e parallele, densità di carica?

Messaggioda RenzoDF » 08/11/2019, 11:30

iTz_Ovah ha scritto:... In generale comunque se il piano non è uniformemente carico non ritengo che continui ad essere vero che il campo elettrico sia in direzione perpendicolare al piano e quindi qui stiamo implicando che nella situazione ideale in cui lavoriamo le due piastre si caricano uniformemente. ...

Esatto, che in ogni punto delle armature, il campo sia perpendicolare alle stesse e la densità di carica sia costante è un'approssimazione, valida in pratica solo per i condensatori che presentano una distanza fra le armature piccola rispetto alle loro dimensioni1; questo è in generale vero (con le dovute cautele) per gran parte dei condensatori commerciali, e permette di usare per la capacità una relazione molto semplice2 ma, in generale, dal punto di vista della fisica teorica, il discorso sarebbe molto più complesso, e un calcolo che vada a tenere conto della reale distribuzione associata alla limitata estensione delle armature sarebbe molto complesso in quanto andrebbe a coinvolgere gli integrali ellittici, di conseguenza, per il calcolo della distribuzione spaziale del campo, della carica, e della capacità, in geometrie che non permettono la suddetta semplificazione, si usano normalmente i metodi numerici agli elementi finiti.

Note

  1. Condizione che permette di trascurare gli effetti di bordo.
  2. Per i condensatori ad armature piane e parallele; se poi parallele non sono, il discorso si complica ugualmente. :)
"Il circuito ha sempre ragione" (Luigi Malesani)
RenzoDF
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 5720 di 5729
Iscritto il: 06/08/2014, 09:08

Re: Condensatore a facce piane e parallele, densità di carica?

Messaggioda RenzoDF » 09/11/2019, 12:04

Visto che piove, ne approfitto per farti vedere via simulazione agli elementi finiti (FEMM) bidimensionale, l'andamento del campo e delle superfici equipotenziali in un condensatore ad armature piane e parallele

Immagine

e della distribuzione della densità di carica sull'armatura

Immagine

con la classica forma a "vasca da bagno". :D

Usando la relazione semplificata

$C=\epsilon_0 A/d\approx 4.4 \ \text{pF}$

mentre la simulazione fornisce

$C\approx 5.8 \ \text{pF}$
Ultima modifica di RenzoDF il 09/11/2019, 12:13, modificato 1 volta in totale.
"Il circuito ha sempre ragione" (Luigi Malesani)
RenzoDF
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 5722 di 5729
Iscritto il: 06/08/2014, 09:08

Re: Condensatore a facce piane e parallele, densità di carica?

Messaggioda Gabrio » 09/11/2019, 12:08

Be il campo rimane uniforme comunque, con poco effetto di bordo
Gabrio
New Member
New Member
 
Messaggio: 18 di 53
Iscritto il: 04/11/2019, 12:15

Re: Condensatore a facce piane e parallele, densità di carica?

Messaggioda RenzoDF » 09/11/2019, 12:14

Poco non direi, dai un occhio alla differenza fra le due capacità. :wink:
"Il circuito ha sempre ragione" (Luigi Malesani)
RenzoDF
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 5723 di 5729
Iscritto il: 06/08/2014, 09:08

Re: Condensatore a facce piane e parallele, densità di carica?

Messaggioda Gabrio » 09/11/2019, 12:25

vero... guardavo il disegno..... ma in genere non so quali sono i valori standard ai bordi
Cavolo non poco 4,4 e 5,8 bella botta
Gabrio
New Member
New Member
 
Messaggio: 20 di 53
Iscritto il: 04/11/2019, 12:15

Re: Condensatore a facce piane e parallele, densità di carica?

Messaggioda RenzoDF » 09/11/2019, 14:36

Beh, ovviamente dipende da come si modella l’armatura e io in quel caso, per far prima, la ho modellata con un semplice piano, che può andar bene nel caso di metallizzazione del dielettrico; diversa sarebbe stata la distribuzione nel caso la avessi dotata di uno spessore e di un bordo arrotondato.
"Il circuito ha sempre ragione" (Luigi Malesani)
RenzoDF
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 5724 di 5729
Iscritto il: 06/08/2014, 09:08

Re: Condensatore a facce piane e parallele, densità di carica?

Messaggioda iTz_Ovah » 09/11/2019, 16:00

Wow grazie mille per le risposte, ne farò veramente tesoro. Apprezzo molto la completezza!

PS: Guardando il grafico che mi hai postato per l'andamento della densità di carica nell'asse delle ascisse è riportata una lunghezza, ma a cosa si riferisce esattamente? Grazie.
iTz_Ovah
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 202 di 204
Iscritto il: 17/01/2017, 16:57

Re: Condensatore a facce piane e parallele, densità di carica?

Messaggioda Gabrio » 09/11/2019, 16:11

E' la lunghezza delle piastre
Gabrio
New Member
New Member
 
Messaggio: 26 di 53
Iscritto il: 04/11/2019, 12:15

Prossimo

Torna a Fisica, Fisica Matematica, Fisica applicata, Astronomia

Chi c’è in linea

Visitano il forum: LoreT314 e 68 ospiti