Verifica dei limiti con la definizione

Messaggioda bmabs » 08/11/2019, 14:17

Più che di un esercizio in sé vorrei capire una cosa riguardo la logica che sottende la verifica del limite tramite la definizione con epsilon e delta vari.

Per la definizione di limite

$AA epsilon > 0, EE delta_epsilon >0 t.c. \ AA x in X, 0 < |x - x_0| < delta => |f(x) - l| < epsilon$

tutto bene, ora mi aspetto di dover sfruttare questo e di solito infatti si parte dalla condizione di aver scelto un epsilon a caso

Imposto la $|f(x)-l|<\epsilon$

e dimostro con vari passaggio che $|x-x_0|<g(\epsilon)=\delta$ cioè trovo una certa funzione di epsilon che sarà la mia delta cercata.

Quello che onn mi convince però è che io parto da: $|f(x)-l|<\epsilon$ però io parto dalla implicazione, cioè quello è il risultato che SE esiste delta allora vale quella disuguaglianza con valore assoluto con il valore del limite. A me sembra che verifico questo fatto:

Se e esiste epsilon che verifica questo: $|f(x)-l|<\epsilon$ ALLORA esiste il delta. Ma non è mica vero che se A=>B per essere vera non devo verificare B (nel nostro caso $|f(x)-l|<\epsilon$) => A (nel nostro caso A è: che esiste delta)

Non so se sono riuscito a spiegarmi molto nel caso provo a riscrivere con altre parole.
Ultima modifica di bmabs il 09/11/2019, 10:39, modificato 1 volta in totale.
bmabs
New Member
New Member
 
Messaggio: 3 di 62
Iscritto il: 06/11/2019, 22:36

Re: Verifica dei limiti con la definizione

Messaggioda gugo82 » 08/11/2019, 23:34

Il vero problema è che non hai capito “operativamente” cosa significa la definizione di limite.
Quindi, cerca di raccontarmi cosa significa $ AA 0 epsilon > 0, EE delta_epsilon >0 t.c. \ AA x in X, 0 < |x - x_0| < delta => |f(x) - l| < epsilon $.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 22738 di 44915
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Re: Verifica dei limiti con la definizione

Messaggioda bmabs » 09/11/2019, 10:56

Proverò a rispondere ad entrambi, ringraziandovi, in principio, per essere intervenuti.

Operativamente pensavo che la definizione volesse dire: prendo un epsilon di qualunque tipo nei reali (che sarà il mio vincolo per un intorno dell'immagine della funzione) e ti mostro che posso trovare sempre un delta che ne dipenda (vincolo sulle ascisse come intorno), poi quando vado a prendere una x (qualunque) in questo intorno che non sia pari a x0 ti mostro che questo IMPLICA il trovare un "raggio" minore del raggio dell'intono che era epsilon.

Il fatto che quell'ultima disuguaglianza con valore assoluto è implicata da tutto il resto. Per prendere un epsilon qualunque io mostro che \(\lvert\cos x-1\rvert<x^2/2=\epsilon\), però questa mi pare l'implicazione (cioè a me sembra a tuti gli effetti di partire dal fondo e trovarmi già UN epsilon che faccia funzionare la disuguaglianza e non un epsilon qualunque -perdo in generalità-).
Fatto questo procedo trovandomi un delta, ok perfetto qui ci sono (e lo trovo)!
Ora non mi viene da stupirmi che la definizione funzioni, beh grazie mi son preso UN epsilon giàbello preparato per cui funziona l'implicazione.

:)

Edito:

ok credo che il punto fondamentalesia il NB di sergio, in effetti x^2/2 è ancora ogni numero reale (epsilon, cioè per ogni).

Capito il dubbio (ovvero che quell'epsilon di sergio è comunque generico -devo farici davvero l'abitudine perché fatico un po' a vederlo, ammetto-)

Sarebbe formalmente corretto anche procedere così? Non so perchéma operativamente mi aiuta impostarmi già prima il vincolo epsilon:

$|cosx-1|=|1-cosx|<x^2/2<\epsilon$

da cui: $x^2/2<\epsilon=>|x|<\sqrt(2\epsilon)$

è proprio l'intorno sulle ascisse che cercavo! !uindi: ho mostrato che qualunque sia preso epsilon il delta è proprio quella radice quadrata.

Insomma anziché porre $\epsilon=x^2/2$ vado a minorare $x^2/2$ con epsilon scoprendo che ho trovato proprio il delta che verifica la definizione di limite. E' simile ma un po' diverso da quello di sergio.
Il punto è che partendo da $|cosx-1|<\epsilon$, come faccio io qui sopra, mi sembra di prendere solo alcuni epsilon e non tutti (in particolare prendo gli epsilon che fanno valere quella disuguaglianza). Eppure giungo allo stesso risultato di sergio. Arcano mistero che devo capire :smt012 , chissà cosa mi sfugge
bmabs
New Member
New Member
 
Messaggio: 4 di 62
Iscritto il: 06/11/2019, 22:36

Re: Verifica dei limiti con la definizione

Messaggioda bmabs » 09/11/2019, 13:24

Certo, in effetti il tuo procedimento mi è chiaro, tuttavia io avevo minorato con epsilon non tanto per mero volo pindarico personal,ma perché l'esercitatore svolge sempre gli esercizi in questo modo.

Faccio un esempio:

$lim(x->0) x^3-1=-1$

Ebbene pone proprio: $|x^3-1+1|<\epsilon$ e da questi fa discendere il delta ecc. Convieni con me che in tal modo in realtàscegli un epsilon "comodo",cioè tale che funzioni quella disuguaglianza:mi sembra un po' diverso dal tuo metodo che mi sembra più corretto formalmente parlando.Eppure come mostratoprima giungo allo stesso risultato tuo.
bmabs
New Member
New Member
 
Messaggio: 5 di 62
Iscritto il: 06/11/2019, 22:36

Re: Verifica dei limiti con la definizione

Messaggioda bmabs » 09/11/2019, 14:37

Sergio ha scritto:Questo non è "minorare", questo è cercare un \(\epsilon\) coerente con la definizione.


Il fatto è che a me sembra di trovare un epsilon coerente con l'implicazione non con la definizione, mi spiego meglio: Per ogni epsilon che verifica la $|f(x)-l|\<\epsilon$ io riesco in effetti a trovare un delta. Nel tuo esempio specifico in effetti ho trovato $\epsilon=x^2/2$ che rappresenta OGNI reale (ma è un caso specifico, perché in realtà l'epsilon che trovo sia sempre un qualsiasi reale non riesco a vederlo da quella $|f(x)-l|\<\epsilon$).
Tuttavia impostando la $[...]=>|f(x)-l|\<\epsilon$ a me sembra di trovare ogni epsilon per cui vale l'implicazione ma non ogni epsilon nei reali.

Deve essere qualcoa di così semplice che non riesco nemmeno a far capire il problema. Ci ragiono ancora un po' su rileggendo le risposte che mi hai dato e di cui ti ringrazio molto:)
bmabs
New Member
New Member
 
Messaggio: 6 di 62
Iscritto il: 06/11/2019, 22:36

Re: Verifica dei limiti con la definizione

Messaggioda gugo82 » 09/11/2019, 17:34

bmabs ha scritto:Operativamente pensavo che la definizione volesse dire: prendo un $epsilon$ di qualunque tipo nei reali (che sarà il mio vincolo per un intorno dell'immagine della funzione) e ti mostro che posso trovare sempre un $delta$ che ne dipenda (vincolo sulle ascisse come intorno), poi quando vado a prendere una $x$ (qualunque) in questo intorno che non sia pari a $x_0$ ti mostro che questo IMPLICA il trovare un "raggio" minore del raggio dell'intono che era $epsilon$.

Sì, vabbè, queste sono chiacchiere… Ma che vuol dire la frase $ AA epsilon > 0, EE delta_epsilon >0 : \ AA x in X, 0 < |x - x_0| < delta => |f(x) - l| < epsilon $?
"Concretamente" parlando, che devi fare?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 22741 di 44915
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Re: Verifica dei limiti con la definizione

Messaggioda bmabs » 10/11/2019, 20:13

Scusa, avevo capito spiegarlo in modo intuitivo.

Beh direi che devo trovare una funzione epsilon di x, da questa farne discendere una funzione delta (di epsilon).
Poiché delta è funzione di x, facendo variare la x nel dominio (sottoinsieme dei reali) vedo se verifica e sta nell'intorno, e SE ci sta, deve stare anche nell'intorno di raggio epsilon.
bmabs
New Member
New Member
 
Messaggio: 7 di 62
Iscritto il: 06/11/2019, 22:36

Re: Verifica dei limiti con la definizione

Messaggioda gugo82 » 10/11/2019, 20:53

No.

Più basic… Perché vai a risolvere la disequazione $|f(x) - l| < epsilon$?
E quando, risolvendola, ti trovi che $l$ è effettivamente il limite di $f$ per $x -> x_0$?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 22749 di 44915
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Re: Verifica dei limiti con la definizione

Messaggioda bmabs » 11/11/2019, 12:46

Forse siamo giunti al punto che non so rispondere :oops:
bmabs
New Member
New Member
 
Messaggio: 8 di 62
Iscritto il: 06/11/2019, 22:36

Re: Verifica dei limiti con la definizione

Messaggioda gugo82 » 11/11/2019, 13:58

Appunto… Perché non riesci ad interpretare il linguaggio.

La frase:

$ AA epsilon > 0, EE delta_epsilon >0 : \ AA x in X, 0 < |x - x_0| < delta => |f(x) - l| < epsilon $

ti sta dicendo che per avere $lim_(x -> x_0) f(x) = l$ deve accadere la seguente cosa:
per ogni fissato $epsilon>0$, nell’insieme $S$ delle soluzioni della disequazione $|f(x) - l| < epsilon$ deve essere possibile isolare almeno un intorno forato di $x_0$; in altre parole, un insieme del tipo $]x_0 - delta , x_0 + delta[ \setminus \{x_0\}$ deve essere contenuto in $S$.



P.S.: A questo punto mi viene di porre una domanda ancora più basic: che vuol dire risolvere una disequazione?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 22756 di 44915
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Prossimo

Torna a Analisi matematica di base

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Google Adsense [Bot] e 1 ospite