La distanza tra due sottospazi affini è sempre realizzata?

Messaggioda otta96 » 10/11/2019, 22:21

Forse non è proprio la sezione più azzeccata, ma da qualche parte dovevo pur metterla.
Se ho $RR^n$ con la norma euclidea e considero due sottospazi affini $V$ e $W$, posso sempre dire che la distanza tra tali sottospazi sia realizzata (ovvero esistono $x\inV$, $y\inW$ tali che $d(V,W)=d(x,y)$)?
Quello che è ovvio è che se sono paralleli oppure si intersecano la risposta è affermativa, quindi ci interessano solo casi in cui sono (generalizzando un termine che si usa per le rette) sghembi.
È chiaro inoltre che anche se uno dei due sottospazi è un solo punto la risposta è affermativa.
Qualcuno sa come trattare questo problema?
Poi mi interesserebbe capire in che modo di può generalizzare questo risultato a spazi normati, con ipotesi opportune (per esempio di sicuro i sottospazi devono essere chiusi).
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Re: La distanza tra due sottospazi affini è sempre realizzata?

Messaggioda marco2132k » 10/11/2019, 22:38

Può essere che tu stia cercando qualcosa sulle righe della Proposizione 1.4.2 del Candilera, Bertapelle di geometria 1?
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Re: La distanza tra due sottospazi affini è sempre realizzata?

Messaggioda otta96 » 10/11/2019, 22:49

Non ho idea di che libro sia, potresti riportare l'enunciato a cui fai riferimento?
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Re: La distanza tra due sottospazi affini è sempre realizzata?

Messaggioda Bokonon » 10/11/2019, 23:52

Mi chiedevo...ma non è necessario specificare cos'è $d(V,W)$?
Non è che $d(V,W)=min[d(x,y)]$?
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Re: La distanza tra due sottospazi affini è sempre realizzata?

Messaggioda marco2132k » 11/11/2019, 07:06

Qui c’è il libroTesto visibile solo ai moderatori e all'autore del post
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Re: La distanza tra due sottospazi affini è sempre realizzata?

Messaggioda dissonance » 11/11/2019, 18:35

otta96 ha scritto:Forse non è proprio la sezione più azzeccata, ma da qualche parte dovevo pur metterla.
Se ho $RR^n$ con la norma euclidea e considero due sottospazi affini $V$ e $W$, posso sempre dire che la distanza tra tali sottospazi sia realizzata (ovvero esistono $x\inV$, $y\inW$ tali che $d(V,W)=d(x,y)$)?
Quello che è ovvio è che se sono paralleli oppure si intersecano la risposta è affermativa, quindi ci interessano solo casi in cui sono (generalizzando un termine che si usa per le rette) sghembi.
È chiaro inoltre che anche se uno dei due sottospazi è un solo punto la risposta è affermativa.
Qualcuno sa come trattare questo problema?
Poi mi interesserebbe capire in che modo di può generalizzare questo risultato a spazi normati, con ipotesi opportune (per esempio di sicuro i sottospazi devono essere chiusi).

In generale questi problemi possono essere difficili; vedi ad esempio questo libro https://www.springer.com/gp/book/9783642648830

Lo strumento da usare è SEMPRE la compattezza in qualche sua forma. Qui, siamo su \(\mathbb R^n\) e dobbiamo servirci della proprietà di compattezza locale; le palle chiuse \(\overline B_R\) sono compatte. La proprietà chiave da dimostrare è che, detti \(X\) e \(Y\) sottospazi affini e sghembi di \(\mathbb R^n\), e fissati \(x\in X\) e \(y\in Y\), esiste \(R>0\) tale che \(|x'-y'|\ge |x-y|\) per ogni \(x', y'\in \mathbb R^n\setminus B_R\). Intuitivamente sono sicuro che questo è vero, ed è qui che si usa in modo fondamentale la geometria del problema.

Una volta che questo è dimostrato, si conclude con un ragionamento standard: sia \((x_n, y_n)\in X\times Y\) una successione minimizzante, ovvero tale che \(|x_n-y_n|\to d(X, Y)\); per quanto detto sopra, tale successione è limitata e quindi ha una estratta convergente. Ma \(X\) e \(Y\) sono chiusi, e ciò conclude la dimostrazione.
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Re: La distanza tra due sottospazi affini è sempre realizzata?

Messaggioda dissonance » 12/11/2019, 09:11

dissonance ha scritto:Lo strumento da usare è SEMPRE la compattezza

Mi contraddico subito. Si può risolvere il problema in modo puramente algebrico, considerando la differenza \(x-y\) tra due punti sui due sottospazi affini in considerazione, e imponendo che \(x-y\) sia ortogonale ad entrambi. Il vantaggio è che non solo si dimostra che la distanza è realizzata, si trova pure una formula per i due punti che la realizzano. Qui ci sono dettagli.

Chiaramente, su uno spazio di dimensione infinita questo discorso algebrico va a farsi benedire. La mia intuizione è che, se \(X, Y\) sono due sottospazi affini e chiusi di uno spazio di Hilbert, e sono disgiunti e non paralleli, allora esistono due punti \(x\in X\) e \(y\in Y\) tali che \(\lVert x-y\rVert = d(X, Y)\), e credo che tali punti siano pure unici.

Ma nel caso più generale di sottospazi affini di uno spazio di Banach, penso proprio che la cosa sia falsa.
dissonance
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