Morfismo

Messaggioda Alin » 11/11/2019, 22:22

Sia $S_8$ l'insieme delle permutazioni sull'insieme ${1,2,3,4.....8}$ e sia $tau=(2583)°(1425)°(67)$
Trovare un morfismo  $phi:ZZ rarr S_8$ tale che $Im(phi)=<tau>$

essendo  $o(tau)=6$ c'é un omomorfismo iniettivo da
$ZZ_6 rarr <tau>$
definito da
$1rarr tau^1$
Quindi si ottiene
$phi(×+y)= phi(x)phi(y)=tau^(x+y)=tau^xtau^y$
Non é anche suriettivo?
Vi chiedo se l'omomorfismo cosí definito va bene. Se ne possono trovare altri?
Grazie
Alin
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Re: Morfismo

Messaggioda luca69 » 12/11/2019, 06:12

Credo sia sostanzialmente corretto. Metto anche come l'avrei fatto io, così mi associo alla richiesta di verifica.

Come dici tu, la permutazione $tau$ ha ordine $6$, avendo struttura ciclica $(2,3,3)$. Poi, $\phi: i \mapsto \tau^i$ è omomorfismo di $ZZ$ su $S_8$, di nucleo $ker(\phi)=\{i \in ZZ | \phi(i)=\iota_{S_8}\}=\{i \in ZZ | \tau^i=\iota_{S_8}\}=\{i \in ZZ | i \equiv 0 mod 6\}=6ZZ$.

Ora, $\phi$ è suriettivo sulla sua immagine, quindi (1° teorema di omomorfismo) $Im(phi) \cong ZZ//ker(\phi)=ZZ//6ZZ=ZZ_6 \cong \langle \tau \rangle$; ma $\phi(1)=\tau$, quindi $Im(\phi)=\langle \tau \rangle$.
luca69
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Re: Morfismo

Messaggioda Alin » 12/11/2019, 09:50

Grazie luca69, molto chiaro!
Alin
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Re: Morfismo

Messaggioda luca69 » 12/11/2019, 12:15

Prego. Ciao
luca69
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