Limite di una funzione

Messaggioda Michele915 » 11/11/2019, 16:40

Lim x->+infinito (x+x^3 sinx)
Stavo pensando di utilizzare la gerarchia degli infiniti.
Cosi facendo dovrebbe darmi +infinito, ma non sono sicuro se si possa svolgere il limite in questo modo.
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Re: Limite di una funzione

Messaggioda Zero87 » 11/11/2019, 19:36

Michele915 ha scritto:Lim x->+infinito (x+x^3 sinx)
Stavo pensando di utilizzare la gerarchia degli infiniti.

Benvenuto al forum - vedo che sei ai tuoi primi messaggi - e buona permanenza.
Intanto ti consiglio di utilizzare le formule per scrivere i messaggi, dal tuo messaggio non è difficile e la scrittura è molto simile al modo di scrivere le formule in orizzontale. Basta racchiuderle tra simboli di dollaro.
Ti faccio un esempio, prendo quello che hai scritto

Lim x->+infinito (x+x^3 sinx)

faccio un paio di cambi

lim_(x ->+oo) (x+x^3 sinx)

racchiudo il tutto tra simboli di dollaro
$ lim_(x ->+oo) (x+x^3 sinx) $
... altri esempi nel link "formule" che trovi nel box rosa in alto presente in ogni pagina.

Per quanto riguarda il limite, il modo di procedere con la gerarchia degli infiniti funziona con polinomi, logaritmi ed esponenziali... per le funzioni trigonometriche c'è qualche problema o, meglio, qualche osservazione da fare se necessaria; una, per es., è che $sin(x)$ varia continuamente tra $-1$ e $1$ al variare di $x$...
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Re: Limite di una funzione

Messaggioda Michele915 » 11/11/2019, 20:54

Dato che varia da -1 a +1 la funzione trigonometrica, andando a sostituire il valore a cui tende la x non dovrebbe dare $+oo$.
Grazie per i consigli riguardanti le formule
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Re: Limite di una funzione

Messaggioda pilloeffe » 12/11/2019, 06:24

Ciao Michele915,
Michele915 ha scritto:Dato che varia da -1 a +1 la funzione trigonometrica, andando a sostituire il valore a cui tende la x non dovrebbe dare $+\infty $.

No. Il limite proposto non esiste, lo si vede bene raccogliendo $x^3$:

$\lim_{x \to+\infty}(x+x^3 sinx) = \lim_{x \to+\infty}x^3(1/x^2+sinx) $

La quantità all'interno della parentesi tonda non ha un segno definito, pertanto il limite proposto non esiste.
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Re: Limite di una funzione

Messaggioda Zero87 » 12/11/2019, 21:19

Di questa chiedo conferma a pilloeffe che ha la mente più fresca della mia.
Si può dimostrare tecnicamente che il limite non esiste se si riescono a trovare (almeno) due sottosuccessioni estratte che hanno limiti differenti.

1.
Se $x= n \pi$ (dunque $sin(n\pi) = 0$ per qualsiasi $n$ naturale)
$lim_(n-> +\infty) (n \pi + (n\pi)^3 sin(n\pi)) = lim_(n-> +\infty) (n \pi)= +\infty$

2.
Se $x= 3/2 \pi + 2n\pi$ (dunque $sin(3/2 \pi + 2n\pi)=-1$ per qualsiasi $n$ naturale)
$lim_(n-> + \infty) (3/2 \pi + 2n\pi)-(3/2 \pi + 2n\pi)^3 = lim_(n->+\infty) (-n^3)=-\infty$.

Neanche all'università ho mai fatto un ragionamento del genere, quindi sono curioso di sapere se si tratta di una cosa sensata o di delirio post giornata lavorativa. :D

EDIT.
Ho corretto, grazie alessio76.
Ultima modifica di Zero87 il 13/11/2019, 19:23, modificato 2 volte in totale.
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Re: Limite di una funzione

Messaggioda alessio76 » 12/11/2019, 23:47

Zero87 ha scritto:Di questa chiedo conferma a pilloeffe che ha la mente più fresca della mia.
Si può dimostrare tecnicamente che il limite non esiste se si riescono a trovare (almeno) due sottosuccessioni estratte che hanno limiti differenti.

1.
Se $x= n \pi$ (dunque $sin(n\pi) = 0$ per qualsiasi $n$ naturale)
$lim_(n-> +\infty) (n \pi + (n\pi)^3 sin(n\pi)) = lim_(n-> +\infty) (n \pi)= +\infty$

2.
Se $x= n(3/2 \pi + 2\pi)$ (dunque $sin(n(3/2 \pi + 2\pi))=-1$ per qualsiasi $n$ naturale)
$lim_(n-> + \infty) (n(3/2 \pi + 2\pi)-n^3 (3/2 \pi + 2\pi)^3) = lim_(n->+\infty) (-3/2 \pi n^3)=-\infty$.

Neanche all'università ho mai fatto un ragionamento del genere, quindi sono curioso di sapere se si tratta di una cosa sensata o di delirio post giornata lavorativa. :D


L'idea è corretta. La prima successione è ok, per la seconda però non è vero che
$sin(n(3/2 \pi + 2\pi))=-1$ per qualsiasi $n$ naturale

perchè
$$
\sin\left(n\left(\frac{3}{2} \pi + 2\pi\right)\right)=\sin\left(\frac{3}{2} n\pi + 2n\pi\right)=
\sin\left(\frac{3}{2} n\pi \right)
$$
viene
$$
\begin{cases}0 \mbox{ se } n \mbox{ pari}\\ -1 \mbox{ se } n\equiv 1 (mod \,4)\\
1 \mbox{ se } n\equiv 3 (mod \,4)\\
\end{cases}
$$
da qui una estratta divergente a $-\infty$ la trovi (prendi "4n+1" al posto di "n" )... ma potresti più semplicemente prendere $x_n:=\frac{3}{2} \pi + 2n\pi$ così $\sin(x_n)=-1$ per ogni $n$ e
$$
x_n+x_n^3\sin(x_n)=\frac{3}{2} \pi + 2n\pi-(\frac{3}{2} \pi + 2n\pi)^3
$$
che comunque diverge a $-\infty$.
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Re: Limite di una funzione

Messaggioda Zero87 » 13/11/2019, 19:24

Ti ringrazio, alessio76, comunque intendevo quello anche se ho scritto una cosa per un'altra. Ho corretto, grazie ancora. :)
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