[EX] Ogni spazio topologico compatto è compatto per successioni

Messaggioda Bremen000 » 12/11/2019, 09:40

Propongo il seguente esercizio:

Teorema Falso:
Sia \( (X , \tau) \) uno spazio topologico compatto. Sia \( \{x_n\}_{n\ge 0} \subset X \). Allora esistono una sottosuccessione \( \{x_{n_k}\}_{k \ge 0 } \subset \{x_n\}_{n\ge 0} \) e $x \in X$ tali che
\[ x_{n_k} \overset{k \to + \infty }{\to} x. \]

Dimostrazione Falsa:
Sia \( \{x_n\}_{n\ge 0} \subset X \) e supponiamo per assurdo che non ammetta sottosuccessioni convergenti. Allora per ogni $x \in X$ esiste un intorno aperto di $x$ tale che la successione è definitivamente esterna a tale intorno. Siccome $X$ è compatto esiste un numero finito di tali intorni che ricopre $X$. Allora la successione è definitivamente esterna a tutto $X$. Assurdo.

Dove è l'errore? Perché?
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Re: [EX] Ogni spazio topologico compatto è compatto per successioni

Messaggioda arnett » 12/11/2019, 10:17

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Il fatto che non ammetta sottosuccessioni convergenti non implica direttamente che dato un intorno di $x$ la successione stia definitivamente tutta fuori, ma solo che non sta dentro definitivamente, cioé che stia infinite volte sia fuori che dentro. Allora uno potrebbe dire: estrai ulteriormente per avere una successione che stia tutta dentro l'intorno prescelto. Il fatto è che esistono spazi in cui è possibile che tutte le sottosuccessioni di una successione continuino a spostarsi fuori e dentro da ogni intorno dello spazio. Credo che per formalizzare decenetemente quanto ho detto ci voglia un po' di teoria dei filrti, ma non me ne intedo. :roll:
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Re: [EX] Ogni spazio topologico compatto è compatto per successioni

Messaggioda Bremen000 » 12/11/2019, 10:36

@arnett
L'idea è corretta, ma ci vuole un controesempio :-D

La teoria dei filtri non è necessaria, non saprei se aiuta!
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Re: [EX] Ogni spazio topologico compatto è compatto per successioni

Messaggioda arnett » 12/11/2019, 11:09

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Forse: prendiamo $2^(2^\mathbb{N})$ spazio delle funzioni $f:2^{\mathbb{N}}\to 2$ con $2=\{0, 1\}$, cioè funzioni che presa una successioni di zeri o uni associano ad essa uno zero o un uno. Questo dovrebbe essere compatto per Thyconoff. Qui la notazione si complica perché una successione di punti in questo spazio è una successione di funzioni che lavora su successioni a sua volta. Ora sia $\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ la successione di punti di $2^(2^\mathbb{N})$ definita da $f_n({x_m}_{m \in \NN})=x_n$, cioè l'$n-$esima funzione ad ogni successione di $0$ e $1$ associa l'elemento che sta nel posto $n-$ esimo. Ammettiamo che questa abbia una sottosuccessione $f_{n_k}$ convergente a una $f$. Allora in particolare deve succedere che $f_{n_k}({x_m}_{m \in \NN})$ converga come successione di numeri per ogni ${x_m}_{m \in \NN}$ fissata. Ma assegnati gli indici di estrazione $n_k$ basta prendere $x_m$ tale che $x_{n_{k_1}}=0, x_{n_{k_2}}=1, x_{n_{k_3}}=0, x_{n_{k_4}}=1$ e così via. E questa di sicuro non converge.
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Re: [EX] Ogni spazio topologico compatto è compatto per successioni

Messaggioda Bremen000 » 12/11/2019, 12:47

@arnett
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
:smt023
Questo tuo esempio, aggiunto al fatto che ogni successione in uno spazio topologico compatto ha punti di accumulazione contraddice l'affermazione di prima. Cioè non è vero che per ogni $x$ esiste un intorno dal quale la successione è esterna definitivamente.
Ci saranno degli $x$ vicino ai quali c'è sempre qualche elemento della successione ma essa non deve necessariamente convergere (in sottosuccessione) a $x$.


Comunque complimenti per la pronta risposta! Sono deciso a mettere uno-due esercizi alla settimana in modo da ravvivare un po' la situazione che troppo spesso vira verso l'esclusivo aiuto compiti. Chissà per quanto manterrò questo proposito :D
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Re: [EX] Ogni spazio topologico compatto è compatto per successioni

Messaggioda dissonance » 12/11/2019, 19:44

Bellino questo problema. Per un momento mi hai fregato, confondendo "definitivamente" e "per infiniti indici", un vecchio trucco ma ci casco ancora. Per questo mi è piaciuto l'esercizio.

Quanto al controesempio, anche la sfera unitaria di \(L^1(\mathbb R)\) con la topologia debole-star lo è. Si tratta di uno spazio topologico compatto, perché si può realizzare come uno strampalato prodotto topologico di compatti, e quindi è compatto per Tychonoff (vedere Eidelman-Milman-Tsolomitis). Ma non è sequenzialmente compatto; ciò implicherebbe che \(L^1(\mathbb R)\) è riflessivo. In effetti andrebbe bene un qualsiasi spazio di Banach non riflessivo, in luogo di \(L^1(\mathbb R)\). E in fondo è sempre lo stesso esempio di arnett; una roba che è compatta per Tychonoff, ma non è "davvero" compatta.
Ultima modifica di dissonance il 13/11/2019, 09:40, modificato 1 volta in totale.
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Re: [EX] Ogni spazio topologico compatto è compatto per successioni

Messaggioda otta96 » 12/11/2019, 22:21

Cavolo mi piacciono queste discussioni ma ormai è stato detto più o meno quello che avrei detto anche io.
Però visto che ci sono intervengo lo stesso
Bremen000 ha scritto:Sono deciso a mettere uno-due esercizi alla settimana in modo da ravvivare un po' la situazione che troppo spesso vira verso l'esclusivo aiuto compiti. Chissà per quanto manterrò questo proposito :D

Anche io tempo fa avevo avuto la stessa idea, non so se ti ricordi. Sono durato un esercizio solo :oops:

dissonance ha scritto:Quanto al controesempio, anche la sfera unitaria di \( L^1(\mathbb R) \) con la topologia debole-star lo è. Si tratta di uno spazio topologico compatto, perché si può realizzare come uno stampalato prodotto topologico di compatti, e quindi è compatto per Tychonoff (vedere Eidelman-Milman-Tsolomitis). Ma non è sequenzialmente compatto; ciò implicherebbe che $L^1(RR)$ è riflessivo.

Ma come mai non sarebbe compatto per successioni? Come la compattezza per successioni implicherebbe la riflessività dello spazio?

E in fondo è sempre lo stesso esempio di arnett; una roba che è compatta per Tychonoff, ma non è "davvero" compatta.

Si che è compatta :-D
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Re: [EX] Ogni spazio topologico compatto è compatto per successioni

Messaggioda arnett » 12/11/2019, 23:19

otta96 ha scritto:
E in fondo è sempre lo stesso esempio di arnett; una roba che è compatta per Tychonoff, ma non è "davvero" compatta.

Si che è compatta :-D


E comunque questo è il riflesso di un fatto storico-matematico non secondario: i topologi ci hanno messo decenni a decidere come formulare la definizione di compattezza, passando per le varie quasi-compattezze e bicompattezze. Oggi forse sono tutti d'accordo ma quest'osservazione di dissonance mostra comunque che esistono spazi compatti che non vorremmo fossero chiamati tali, perché non tengono assieme i loro punti, come ci si aspetta che un compatto faccia.
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Re: [EX] Ogni spazio topologico compatto è compatto per successioni

Messaggioda Bremen000 » 13/11/2019, 09:17

otta96 ha scritto:[...] Anche io tempo fa avevo avuto la stessa idea, non so se ti ricordi. Sono durato un esercizio solo :oops: [...]

Si mi ricordo! Be' per adesso siamo pari :-D

otta96 ha scritto:[...]
Si che è compatta :-D


E non fare il geometra.... :D
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Re: [EX] Ogni spazio topologico compatto è compatto per successioni

Messaggioda dissonance » 13/11/2019, 10:02

Non sono stato chiaro nel mio post precedente. Quello che volevo dire è tutto nella pagina di Wikipedia:
https://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2 ... lu_theorem

(la compattezza che uno può davvero usare nelle applicazioni alle PDE e al calcolo variazionale è quella sequenziale).

Quanto agli spazi riflessivi e non, è tutto scritto qui:

https://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2 ... nsequences
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