Re: Triangolo nel triangolo

Messaggioda Erasmus_First » 10/11/2019, 00:09

Ho corretto i "dollari". Immagine (editando apposta).
axpgn ha scritto:@Erasmus_First
[...] tu ti "limiti" a calcolare il perimetro minimo senza però dire qual è il triangolo inscritto dal perimetro
Non è vero che "mi limito a calcolare il perimetro minimo" ma è vero che non dico quall è il triangolo inscritto con tale perimetro, (cioè non dico dove stanno i suoi vertici sui lati del dato triangolo [acutangolo] .
Ma mi pare che è prroprio questo il bello della mia soluzione!
Trovo infatti le lunghezze dei lati del triangolino ignorando dove stanno i vertici (i quali vanno a posizionarsi "spontaneamente" dove la tensione dell'elasstico viene ad essere la minima possibile
Ma ho altro da ridire a riguardo di questa tua critica (pardon; tuo giusto rilievio] ... e lo metto dentro a "spoiler".
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Il fatto è che la versione del quiz passato in "Rudi Mathematici" chiedeva proprio soltanto quanto valesse il perimetro del triangolo a perimetro minimo inscritto in un trìangolo di lati lunghi rispettivamente 17, 25, 26. Naturalmente il quiz meritava una generalizzazione, soprattutto per il fatto che l'idea dell'elastico m'è venuta per prima, per cui la risposta numerica l'ho calcolata come applicazione della suluzione generalizzata (per un triangolo acutangolo di lati di lunghezza [simbolica] a, b e c)
Però ... nel testo che ho messo in spoiler c'è spiegato un po' tutto, e cioè:
• che i tre triangolini con un vertice in comune col triangolone ABC ono tutti simili a questo;
• che i due angoli di inclinazione di due lati dell'elastico sul lato di ABC nel quale hanno un estremo comune sono uguali all'angolo opposo a quel lato di ABC;
• che in ciascuno dei tre triangolini simili al triangolone il lato costituito dall'elastico è ricavabile dal lato che in ABC è opposto all'angolo in comune moltiplicandolo per il coseno di quell'angolo
• e (in fine) che dalla similitudine di tre triangoli col triangolone si ricavano facilmente TUTTE le lunghezze dei 9 segmenti.
Per esempio, considerando (nella mia figura che ripeto):
Immagine

che le inclinazione di FE e di FD su AB valgono γ (cioè quanto l'angolo opposto ad AB, quello in C), iccome – come ho detto –
$u = a·cos(α)$ e $v= b·cos(β)$,
viene per forza
FA=$b·cos(α)$ e BF[/Ii= $a·cos(β)$.
Guarda caso, questi valori sono proprio le proiezioni ortogonali dei latt di lunghezza [i]b
ed a su quello di lunghezza c,
In altre parole F è il piede delll'altezza di ABC relativa ad AB su AB stesso.
[Analogamente si dica per D ed E].
Insomma: dove stanno i vdertici di DEF non l'ho detto perché pensavo che non fosse richiesto. Ma da quanto si trova col metodo dell'elastico risulta subito (proprio in base a quanto ho detto esplicitamente).
Da notare che, come è indicato nella figura (in cui, come al solito, i simboli x, y e z rappresentano incognite), prima di calcolare le lunghezze u, v e w, bisogna venir a conoscere
x = AF, y = BD e z = CE
che dànno i rapporti di proporzione rispettivamente di AEF, DBF e DEC con ABC.
Insomma: dove stanno i vertici D, E e F non è detto esplicitamente; ma tra le righe è detto quanto valgono i 6 segmenti individuati suui lati di ABC fdai vertici di DEF.

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Re: Triangolo nel triangolo

Messaggioda axpgn » 10/11/2019, 14:20

Scusa Erasmus ma hai postato di nuovo lo stesso messaggio ? Oppure c'è qualcosa di nuovo che non ho notato?
axpgn
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Re: Triangolo nel triangolo

Messaggioda Erasmus_First » 10/11/2019, 20:38

axpgn ha scritto:Erasmus [...] hai postato di nuovo lo stesso messaggio ? ?
Sì. Me ne accorgo solo adesso (essendo tornato per dire ora qualcosa di nuovo).
Il fatto è che qui il mio computer oppure Internet o tutt'e due ogni tanto hanno delle malfunzioni (di cui mi accorgo a fatti già avvenuti ... che mi restano incompresi ed incomprensibili).
Nel tuo messaggio successivo al mio primo intervento mi chiedevi un parere sulle soluzioni postate da te. Beh: il parere non l'avevo perché dopo aver iniziato a leggiuchiarle mi sono perso in altri pensieri ... e ho lasciato perdere,
E ancora non ho alcuna intenzione di andare a leggerle (e decifrarle ... perché non è detto che riesca a seguirne il ragionamento con la semplice lettura).
Nel tuo messaggio successivo al mio secondo intervento, tu mi riveli che una delle due dimostrazioni postate da te è di Schwarz (quello della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz) . Ehh ... non mi metto ,certo io, umile dilettante "amatoriale", a disquisire con giganti della matematica!
Allora: non conoscendo la proprietà di questo triangolo e tantomeno che ha scoprirla sono stati i giganti matematici dell'800, mi compiaccio di averla trovata autonomamente e, soprattutto, con una banale applicazione di meccanica razionale!
––––––––––
Quello di nuovo che volevo dire è qualcosa che ho imparato risolvendo questo quiz (e che in sé non ha nulla a che fare con il perimetro). Qualcosa a cui non avevo mai pensato (benché sia stato insegnante di matematica in Licei, in istituti tecnici e – seppur per poco tempo – anche in altri tipi di scuola).
Permettimi, Alex, una introduzione a quello che sarà il clou di questo mio ulteriore intervento .
Al ginnasio (mi pare in VIª, corrispondente alla 1ª liceo scientifico, ma forse era in Vª ginnasio), prima si dimostrava che gli assi di un triangolo passavano tutti tre per uno stesso punto equidistante dai vertici (e detto "circocentro"). Poi si dimostrava che anche le tre rette delle altezze passavano per uno stesso punto, (detto "ortocentro"); e questa proprietà si ricavava mostrando che le rette delle altezze erano gli assi di un altro triangolo ottenuto tracciando per ciascun vertice del primo la parallela al lato opposto. Riassumendo: l'ortocentro c'è perché è lo stesso circocentro d'un altro triangolo. Poi si dimostrava indipendentemente da tutto ciò che anche le bisettrici degli angoli interni d'un riangolo passavano per uno stesso punto (equidistante dai lati e detto "incentro").
1) Ora, però, veniamo a scoprire che l'ortocentro di un triangolo ABC acutangolo è anche incentro del triangolino che ha per vertici i piedi delle altezze di ABC sui lati AB, BC e CA di ABC.
Sia O l'ortocentro di ABC.
2) Se ABC è ottusangolo in C, I piedi delle altezze relative ad AC e a BC cascano fuori del triangolo, come pure il suo ortocentro O. Allora, però, è acutangolo il triangolo ABO e il suo ortocentro è C. Immagine
I piedi delle altezze relative al nuovo triangolo ABO sono gli stessi piedi delle altezze di ABC sulle rispettive rette AB, BC e CA e sono i vertici di un triangolo il cui incentro è C.
3) Se ABC è acutangolo ed O è il suo ortocentro, allora il triangolo ABO è ottusangolo in O e il suo ortocentro è C Immagine

Insomma: Detto O l'ortoocentro di ABC – che se ottusangolo supponiamo esserlo in C – c'è una specie di dualità tra i triangili ABC e ABO.
• Se uno dei due triangoli ABC e ABO è acutangolo l'altro è ottusangolo.
Siano poi D su BC, E su CA ed F su AB i piedi delle altezze di ABC sui suoi lati (o sui prolungamenti dei suoi lati).
Allora D, E ed F sono pure i piedi delle altezze di ABO sui rispettivi lati (o prolungamenti).
Due altezze di ABC sono due lati di ABO e due altezze di ABO sono lati di ABC
L'incentro di DEF è l'ortocentro del triangolo acutangolo e vertice dell'angolo ottuso del triangolo ottusangolo.
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P.S. (Lunedì 11/11/2019 ore21:42)
Edito per aggiungere questa immagine come illustrazione dell'regomento del mio intervento
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Ultima modifica di Erasmus_First il 11/11/2019, 21:58, modificato 3 volte in totale.
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Re: Triangolo nel triangolo

Messaggioda axpgn » 10/11/2019, 23:40

Bravo Erasmus :D :smt023
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Re: Triangolo nel triangolo

Messaggioda Erasmus_First » 12/11/2019, 15:48

Là in "Rudi Mathematici", tal nino280 ( assiduo frequentatore di quella sezione di Coelestis ed appassionato sfruttatore di "Geogebra") ha postato, tra l'altro, questa figura:
Immagine

che rappresenta un triangolo ABC e la circonferenza [circolare] che passa per i punti medi dei lati di ABC (che sono E, F e G)
Rispetto ad un triangolo, il cerchio circoscritto al triangolo che ha per vertici i punti medi dei lati si chiama – ma io l'ho impartato solo ieri! :roll:"Cerchio di Feuerbach" perché il matematico tedesco Karl Feuerbach ha scoperto che questo cerchio è pure circoscritto al triangolo che ha per vertcici i piedi delle altezze del dato triangolo sui suoi lati (o sui loro prolungamenti) – H, K ed L in figura –).
Insomma: Il Teorema di Feuerbach afferma che, dato un triangolo ABC, il cercchio circoscitto al triangolo che ha per vertici i punti medi di un dato triangolo è anche circoscritto al triangolo che ha per vertici i piedi delle altezze del dato triangolo sui suoi lati, (quello di cui abbiamo parlato fino ad ora in questo thread ).
Stamattina, con un po' di pazienza ho dimostrato autonomamente il teorema di Feuerbach. Immagine
Sono partito dal chiamare K il punto del piano del triangolo ABC equidistante dai piedi delle altezze (piedi che io ho chimato U su BC, V su CA e W su AB, in sintonia con l'aver detto
$u = a·cos(α)$; $v = b·cos(β$; $w = c·cos(γ)$;
i lati del triangolo a perimetro minimo tra quelli inscritti in ABC acutangolo più prossimi rispettivamente ad A, B e C) e dimostrando che K dista da U, V e W la metà del raggio del cerchio circoscritto ad ABC (dato che così vale il raggio del cerchio circoscritto al triangolo che ha per vertici i punti medi dei lati di ABC).

Alex (e qualunque altro eventuale lettore): un bel quiz sarebbe
"Dare una dimostrazione del Tteorema di Feuerbach"
senza andar a scopiazzare in rete! :-D
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Re: Triangolo nel triangolo

Messaggioda axpgn » 12/11/2019, 17:08

C'è un problema: il cerchio di Feuerbach lo conoscevo già anzi lo conoscevo (ed è maggiormente conosciuto) come "cerchio dei nove punti" :D (dove hai lasciato gli altri tre? :-D )
Ha molti altri nomi tra i quali anche "cerchio di Eulero" e secondo Wikipedia passa anche per altri nove punti "rimarchevoli".
E dato che ti appassiona ti dico che anche il centro di questo cerchio ha un nome "proprio" e possiede una caratteristica: quale? :wink:

Ciao, Alex
axpgn
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Re: Triangolo nel triangolo

Messaggioda Erasmus_First » 15/11/2019, 06:39

@ axpgn/Alex
I tre punti oltre ai 6 che ho detto non li ho persi per strada ... solo che siccome nino280 ha nominato quel cerchio come "Cerchio di Feuerbach" mi pareva più giusto ignorarli, mettermi cioè al livello storico di Karl Feuebach.
––––––––––
Il "cerchio di Feuerbach" è stato chiamato così non da Feuerbach ma successivamente in suo onore.
Tempo dopo –ma non so quanto – qualcun altro ha scoperto che questo cerchio passa anche per i punti medi dei tre segmenti di estremi un vertice del triangolo e l'ortocentro.
Dopo tale scoperta è stato nominato anche "cerchio dei 9 punti".
Ho leggiucchiato anch'io l'articolo di Wikipedia cui ti riferisci ... trovando quell'articolo molto superficiale.

Il fatto che tu conoscessi già questo cerchio non equivale all'escluso dal dare qui una dimostrazione del "Teorema di Feuerbach".
[Per paragone: Io so bene che non esiste una formula risolutiva generale per le equazioni algebriche di grado maggiore di 4; e so anche che il teorema che dimostra ciò è stato dimostrato autonomamente da Ruffini, da Abel e da Galois (indipendentemente uno dall'altro). Ma non sarei in grado darne a mia volta una dimostrazione].

Ciao Alex.
Ciao a tutti
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Re: Triangolo nel triangolo

Messaggioda axpgn » 15/11/2019, 12:08

Ok, vediamo di dimostrare il "tuo" teorema di Feuerbach (dato che il "Teorema di Feuerbach" è un altro :-D )

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Faccio riferimento al tuo disegno: $ABC$ è il triangolo, $E, F, G$ i punti medi e $H, K, L$ i piedi delle tre altezze.

Il quadrilatero $EFLG$ è un trapezio; il segmento $EG$, collegando due punti medi, è parallelo ad $AB$ quindi a $FL$.
È pure isoscele; il segmento $EF$, collegando i punti medi, è la metà di $AC$; d'altra parte $GL$ è la mediana relativa all'ipotenusa del triangolo rettangolo $ACL$ quindi anch'essa è la metà di $AC$.
Di conseguenza il trapezio isoscele $EFLG$ è ciclico ovvero inscrivibile in un cerchio ovvero i quattro punti $E, F, L, G$ stanno sulla stessa circonferenza; lo stesso vale per gli altri due lati.
Tutti i sei punti si trovano sulla stessa circonferenza.

Per gli altri tre … consideriamo il triangolo $ABO$ dove $O$ è l'ortocentro di $ABC$.
I piedi dell'altezze di questo triangolo sono gli stessi di $ABC$ quindi il cerchio che passa per $H, K, L$ passerà anche per i punti medi dei lati di $ABO$ e quindi …


Cordialmente, Alex
axpgn
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Re: Triangolo nel triangolo

Messaggioda Erasmus_First » 17/11/2019, 19:56

axpgn ha scritto:[...] ([...] il "Teorema di Feuerbach" è un altro :-D )
Dico una frase non certo originale: «Non si finisce mai di imparare!»
[Leggo ora, in Wikipedia, ché si intende per "Teorema di Feuerbach"]
axpgn ha scritto:Ok, vediamo di dimostrare il "tuo" teorema di Feuerbach [...]
Bravo Alex! :D :smt023
:-D
Bravo Alex perché la tua dimostrazione non è "metrica" bensì proprio "euclidea".
Io una tale dimostrazione l'ho cercata ... senza trovarla.
Allora ho fatto ricorso ad una dimostrazione "metrica" .
Rimetto la figura di riferimento:
Immagine
Il triangolo inscritto in ABC a perimetro minimo è HKL. e le lunghezze dei suoi lati sono:
KL = $u = a·cos(α)$: LH = $v = b·cos(β)$; HK = $w = c·cos(γ)$.
1) Per prima cosa ho osservato che il raggio  del cerchio circoscritto al triangolo di lati
$u = a·cos(α)$: $v = b·cos(β)$; $w = c·cos(γ)$
– diciamolo $R$ – vale
$R = u/(2·sin(π-2α)) = v/(2·sin(π-2β)) = w/(2·sin(π-2γ)) =$
$= 1/2·a/(2·sin(α)) = 1/2·b/(2·sin(β))) = 1/2·a/(2·sin(γ))$
ossia quanto quello del cerchio circoscritto al triangolo che ha per vertici i punti medi dei lati di ABC.
2) Poi, (senpre con riferimento alla figura qui sopra alla quale anche tu hai fatto riferimento), detto P il centro di questo cerchio per i piedi H, K ed L delle altezze di ABC sui suoi lati, ho calcolato l'angolo AKP, il suo coseno e quindi la posizione su AC della proiezione ortogonale di P su AC ... trovando che essa è il punto medio del segmento GK (e quindi che GKP è isoscele su GK, ossia che P dista ugualmente da G e da K).
[Idem si può fare sugli altri due lati di ABC).

Riconosco che la tua dimostrazione è molto più elegante della mia ... soprattutto ha il pregio di non essere "metrica" ma essere davvero "euclidea".
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